अपेक्षित कमी: VaR पूरी कहानी क्यों नहीं बताता
क्या होगा अगर आपका जोखिम सिस्टम हर सुबह जो संख्या रिपोर्ट करता है, वह उन परिदृश्यों को छोड़ देता है जो वास्तव में आपको नष्ट कर सकते हैं? दशकों तक, वैल्यू एट रिस्क "हम कितना खो सकते हैं?" के प्रश्न का मानक उत्तर रहा है। लेकिन VaR इस प्रश्न के एक संकीर्ण संस्करण का उत्तर देता है: यह दिए गए विश्वास स्तर पर हानि सीमा की पहचान करता है, फिर उससे आगे की हर चीज़ के बारे में चुप हो जाता है। 99% दैनिक VaR $5 मिलियन का अर्थ है कि हानि वर्ष में लगभग 2.5 बार इस आंकड़े से अधिक होती है। वे उल्लंघन औसतन $5.5 मिलियन हैं या $50 मिलियन, VaR इन्हें समान रूप से मानता है।
2002 में, Carlo Acerbi और Dirk Tasche ने एक प्रमाण प्रकाशित किया जिसने इस चुप्पी को संरचनात्मक दोष के रूप में पुनर्परिभाषित किया। उनके पत्र "On the Coherence of Expected Shortfall" ने प्रदर्शित किया कि अपेक्षित कमी (ES) असतत वितरणों सहित सभी वितरण प्रकारों में एक सुसंगत जोखिम माप के लिए आवश्यक सभी चार गणितीय स्वयंसिद्धों को पूरा करती है। इस परिणाम ने नियामकों को वैश्विक बैंकिंग मानकों में VaR को ES से बदलने का सैद्धांतिक आधार प्रदान किया।
VaR में सुसंगतता का अंतर
Artzner आदि (1999) ने पहले से ही चार स्वयंसिद्ध स्थापित किए थे जो किसी भी उचित जोखिम माप को पूरा करने चाहिए: स्थानांतरण अपरिवर्तनशीलता, उपजोड़यता, धनात्मक समघातता, और एकदिष्टता। VaR तीन में उत्तीर्ण होता है लेकिन उपजोड़यता में विफल रहता है — वह स्वयंसिद्ध जो इस सिद्धांत को कूटबद्ध करता है कि विविधीकरण से जोखिम नहीं बढ़ना चाहिए।
यह विफलता ठोस है। दो ट्रेडिंग डेस्क पर विचार करें, प्रत्येक केंद्रित स्थितियां रखता है। डेस्क A का 99% VaR $2.1 मिलियन है। डेस्क B का $1.8 मिलियन है। जब फर्म दोनों पुस्तकों को एकत्रित करती है, तो संयुक्त 99% VaR $4.3 मिलियन से अधिक हो सकता है — भागों के योग $3.9 मिलियन से अधिक। VaR के तहत, स्थितियों का विलय विविधीकरण को जोखिम बढ़ाने जैसा दिखा सकता है। यह विकृति इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि VaR केवल एक एकल चतुर्थक की जांच करता है।
Acerbi और Tasche ने क्या सिद्ध किया
Acerbi और Tasche (2002) का योगदान एक तकनीकी अंतर को पाटना था। Artzner आदि ने दिखाया था कि ES सतत वितरणों के लिए सुसंगत है, लेकिन कई वास्तविक-विश्व हानि वितरण असतत हैं (सीमित परिदृश्य सेट, सीमित डेटा के साथ ऐतिहासिक अनुकरण)। Acerbi और Tasche ने सरल पूंछ औसत के बजाय सशर्त अपेक्षाओं को शामिल करने वाले प्रतिनिधित्व के माध्यम से उपजोड़यता स्थापित करके सिद्ध किया कि ES सतत, असतत और मिश्रित — सभी वितरण प्रकारों में सुसंगत रहता है।
यह महत्वपूर्ण था क्योंकि व्यवसायियों ने वैध आपत्तियां उठाई थीं: यदि ES केवल आदर्शीकृत वितरण धारणाओं के तहत काम करता है, तो VaR पर इसकी सैद्धांतिक श्रेष्ठता शैक्षणिक थी। 2002 के प्रमाण ने उस आपत्ति को पूरी तरह समाप्त कर दिया।
अलग से, Acerbi (2002) ने इस परिणाम को वर्णक्रमीय जोखिम मापों की पूरी श्रेणी तक विस्तारित किया, जिसमें ES सबसे सरल सदस्य है। वर्णक्रमीय माप पूंछ हानियों को एक अह्रासमान फ़ंक्शन द्वारा भारित करते हैं, जिससे जोखिम प्रबंधक चरम परिणामों के प्रति विभिन्न स्तरों की अरुचि व्यक्त कर सकते हैं।
VaR और ES व्यवहार में कहां विचलित होते हैं
VaR और ES के बीच व्यावहारिक अंतर पूंछों की मोटाई पर निर्भर करता है। सामान्य वितरण के तहत, 95% ES 95% VaR का लगभग 1.28 गुना है — एक मामूली अंतर। क्रेडिट, कमोडिटी और तनाव अवधियों के इक्विटी बाजारों में आम मोटी-पूंछ वितरणों के तहत, यह अनुपात नाटकीय रूप से बढ़ जाता है।
| वितरण | 95% VaR (σ में) | 95% ES (σ में) | ES/VaR अनुपात |
|---|---|---|---|
| सामान्य | 1.65 | 2.06 | 1.25 |
| स्टूडेंट-t (5 df) | 1.65 | 2.89 | 1.75 |
| स्टूडेंट-t (3 df) | 1.65 | 5.28 | 3.20 |
जब ES-से-VaR अनुपात 2.0 से ऊपर चढ़ता है, तो यह संकेत देता है कि हानि वितरण में सामान्य धारणा से अर्थपूर्ण रूप से मोटी पूंछें हैं। ऐसे शासनों में, VaR पोर्टफोलियो के लिए अस्तित्वगत जोखिम पैदा करने वाली घटनाओं की गंभीरता को कम रिपोर्ट करता है। जैसा कि Yamai और Yoshiba (2005) ने प्रलेखित किया, बढ़े हुए पूंछ जोखिम की अवधियों में केवल VaR पर निर्भर संस्थानों ने अपनी पूंजी आवश्यकताओं को व्यवस्थित रूप से कम आंका।
यह विचलन पूंछ जोखिम हेजिंग रणनीतियों को प्रेरित करने वाली चिंता से सीधे जुड़ता है: पोर्टफोलियो अस्तित्व के लिए सबसे महत्वपूर्ण हानियां ठीक वे हैं जिन्हें VaR त्यागता है। VaR सीमाओं के इर्द-गिर्द डिज़ाइन किया गया हेजिंग कार्यक्रम पोर्टफोलियो को उन ड्रॉडाउन के प्रति उजागर कर सकता है जो वास्तव में शोधन क्षमता को खतरे में डालते हैं।
नियामक परिणाम
बैंकिंग पर्यवेक्षण पर बेसल समिति ने ट्रेडिंग बुक की मौलिक समीक्षा (2019) में 97.5% अपेक्षित कमी को प्राथमिक बाजार जोखिम पूंजी माप के रूप में अपनाया, Basel II के बाद से बैंक पूंजी को नियंत्रित करने वाले 99% VaR मानक को प्रतिस्थापित करते हुए। 99% ES के बजाय 97.5% ES का चयन जानबूझकर किया गया था: सामान्य वितरण में, 97.5% ES परिमाण में लगभग 99% VaR के बराबर है, जो जोखिम माप के गणितीय गुणों को मूलभूत रूप से उन्नत करते हुए पूंजी स्तरों में मोटी निरंतरता सुनिश्चित करता है।
इस बदलाव ने एक विशिष्ट नियामक आर्बिट्राज को बंद किया। VaR-आधारित पूंजी नियमों के तहत, एक ट्रेडर रिपोर्ट किए गए VaR को प्रभावित किए बिना स्थिर प्रीमियम आय उत्पन्न करने वाले गहरे आउट-ऑफ-द-मनी विकल्प बेच सकता था। ES संरचना के अनुसार पूरी पूंछ में औसत लेकर उन हानियों को पकड़ता है। Embrechts, McNeil और Straumann (2002) ने सहसंबंध-निर्भर पोर्टफोलियो में ठीक इस प्रकार की भेद्यता के बारे में चेतावनी दी थी।
स्वीकार करने योग्य सीमाएं
ES में भी समझौते हैं। ES का बैकटेस्टिंग VaR से कठिन है क्योंकि सीमा उल्लंघन को सत्यापित करने की तुलना में औसत को सत्यापित करने के लिए अधिक डेटा बिंदुओं की आवश्यकता होती है। Tasche (2002) ने प्रेरणीयता चिंताओं पर चर्चा की। ES अकेले प्रेरणीय नहीं है, लेकिन VaR के साथ संयुक्त रूप से यह प्रेरणीय हो जाता है। यह परिणाम FRTB के पूंजी के लिए ES और बैकटेस्टिंग के लिए VaR के हाइब्रिड दृष्टिकोण में परिलक्षित होता है।
ES दूर की पूंछ में अनुमान त्रुटि के प्रति भी अधिक संवेदनशील है। सीमित ऐतिहासिक डेटा के साथ, सबसे खराब 2.5% अवलोकनों का औसत पर्याप्त नमूनाकरण अनिश्चितता वहन करता है। यह VaR पर लौटने का कारण नहीं है, लेकिन इसका अर्थ है कि ES अनुमानों के साथ विश्वास अंतराल होना चाहिए या तनाव परिदृश्यों से पूरक होना चाहिए।
ढांचे को जोड़ना
परिसंपत्ति वर्गों में जोखिम प्रीमियम प्रबंधित करने वाले निवेशकों के लिए, जोखिम माप का चयन पोर्टफोलियो निर्माण निर्णयों को आकार देता है। अधिकतम ड्रॉडाउन ढांचा पथ-निर्भर सबसे खराब मामलों को पकड़ता है, जबकि ES एक समय बिंदु पर वितरणात्मक पूंछ गंभीरता को पकड़ता है। ये दृष्टिकोण एक-दूसरे को प्रतिस्थापित करने के बजाय पूरक हैं। दैनिक सीमा प्रबंधन के लिए VaR, पूंजी आवंटन और पूंछ जागरूकता के लिए ES, और संचयी पथ जोखिम के लिए अधिकतम ड्रॉडाउन की निगरानी करने वाले संस्थान के पास किसी भी एकल मीट्रिक पर निर्भर संस्थान की तुलना में काफी अधिक पूर्ण चित्र होता है।
Acerbi और Tasche के प्रमाण ने स्थापित किया कि इन उपकरणों में, अपेक्षित कमी वह है जो विविधीकरण के गणित का सम्मान करते हुए सबसे महत्वपूर्ण परिदृश्यों में क्या होता है, यह प्रकट करती है।
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Written by Priya Sharma · Reviewed by Sam
यह लेख उद्धृत प्राथमिक साहित्य पर आधारित है और सटीकता तथा उचित श्रेय के लिए हमारी संपादकीय टीम द्वारा समीक्षित है। संपादकीय नीति.
संदर्भ
- Acerbi, C., & Tasche, D. (2002). "On the Coherence of Expected Shortfall." Journal of Banking & Finance, 26(7), 1487-1503. https://doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00283-2
- Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1999). "Coherent Measures of Risk." Mathematical Finance, 9(3), 203-228. https://doi.org/10.1111/1467-9965.00068
- Acerbi, C. (2002). "Spectral Measures of Risk: A Coherent Representation of Subjective Risk Aversion." Journal of Banking & Finance, 26(7), 1505-1518. https://doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00281-9
- Yamai, Y., & Yoshiba, T. (2005). "Value-at-risk versus expected shortfall: A practical perspective." Journal of Banking & Finance, 29(4), 997-1015. https://doi.org/10.1016/j.jbankfin.2004.08.010
- Tasche, D. (2002). "Expected Shortfall and Beyond." Journal of Banking & Finance, 26(7), 1519-1533. https://doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00272-8
- Embrechts, P., McNeil, A. J., & Straumann, D. (2002). "Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls." In Risk Management: Value at Risk and Beyond, Cambridge University Press, 176-223. https://doi.org/10.1017/CBO9780511615337.008
- Basel Committee on Banking Supervision (2019). "Minimum Capital Requirements for Market Risk." Bank for International Settlements. https://www.bis.org/bcbs/publ/d457.htm