共和分：ペアトレーディングの数学的基盤

要点

共和分は、厳密なペアトレーディングを素朴な相関ベースのアプローチから区別する数学的基盤です。2つの株価がある期間にわたって相関がゼロであっても共和分関係を持つ場合があり、これは両者の線形結合が安定した平均に回帰することを意味します。エングル=グレンジャー2段階法とヨハンセン検定は、このような長期均衡関係を特定するための公式な統計ツールを提供します。共和分ペアが見つかると、誤差修正モデルがスプレッドの挙動を支配し、平均回帰の半減期が取引機会の解消速度を決定します。共和分に基づくペアトレーディング戦略は、単なる過去の価格近接性に依存するのではなく、真の経済的関係を検定するため、距離ベースの方法よりも構造的優位性を持ちます。

酔った女性と彼女の犬

深夜にバーを出る女性が、リードにつないだ犬と一緒に歩く状況を想像してみてください。二者はどちらもやや無作為に動きます。女性は予測不能な経路をふらつき、犬は匂いを追って左右に走り回ります。個別に見れば、どちらも予測可能な軌道を辿りません。しかしリードが二者の最大距離を制約します。それぞれがどれほど不規則に動いても、二者の距離は制限されており、リードの長さに回帰する傾向があります。

これが共和分の本質的なイメージです。女性と犬はそれぞれ非定常過程（時系列計量経済学の用語でI(1)系列）であり、個々の位置がランダムウォークに従うことを意味します。しかし二者の位置の差は定常（I(0)）であり、安定した平均の周りで変動し、大きく逸脱すると回帰します。

この比喩はしばしばMurray (1994)に帰されますが、多くのトレーダーが見逃す微妙な区別を捉えています。相関は2つの系列が短い区間でどれだけ一緒に動くかを測定します。共和分は長期的な均衡関係が存在するかどうかを測定します。2つの株式が高い相関を持ちながら共和分がない場合があります（日々は一緒に動くが時間とともに永久に乖離します）。逆に、2つの株式が低い短期相関を持ちながら強い共和分を持つ場合もあります（短期的には異なる経路を辿るが、価格の線形結合は常に均衡に回帰します）。

定常性と和分の次数

共和分を検定する前に、和分の次数の概念を理解する必要があります。時系列がd次の和分、すなわちI(d)であるとは、定常化するためにd回の差分が必要であることを意味します。

ほとんどの個別株価はI(1)です。水準では、ドリフト付きランダムウォークに従います。しかし一階差分（日次リターン）はほぼ定常であり、一定の分散で平均の周りを変動します。単一のI(1)系列が特定の水準に回帰するという仮定の下で収益性のある取引を行うことはできません。回帰すべき固定された水準が存在しないためです。

共和分はこの問題に対する解決策を提供します。2つのI(1)系列XとYがZ = Y - beta * Xとして結合でき、結果の系列ZがI(0)であれば、XとYは共和分ベクトル(1, -beta)で共和分されています。スプレッドZが取引可能な量です。固定された平均を持ち、その平均からの偏差は一時的です。

拡張ディッキー=フラー（ADF）検定は、系列が定常かどうかを検定する標準的なツールです。系列が単位根を持つ（I(1)である）という帰無仮説を、定常である（I(0)である）という対立仮説に対して検定します。検定回帰は次の通りです：

Delta_Z(t) = alpha + gamma * Z(t-1) + ラグ付きDelta_Z項の合計 + epsilon(t)

gammaが有意に負（検定統計量が臨界値を下回る）であれば、単位根の帰無仮説を棄却し、系列が定常であると結論づけます。共和分残差の臨界値は、残差が直接観測されたものではなく推定された回帰から生成されるため、標準ADF表とは異なります。

エングル=グレンジャー2段階法

Engle and Granger (1987)は、Robert EngleとClive Grangerに2003年ノーベル経済学賞をもたらした論文であり、共和分の概念を公式化し、実用的な2段階検定手順を導入しました。

第1段階：共和分回帰を推定します。一方のI(1)変数を他方に対して通常最小二乗法（OLS）回帰を実行します：

Y(t) = alpha + beta * X(t) + epsilon(t)

この回帰の残差はスプレッドを表します。すなわち、YがXとの推定された長期均衡関係からどれだけ逸脱しているかです。YとXが共和分されていれば、この残差は定常であるはずです。

第2段階：残差の定常性を検定します。推定残差にADF検定を適用します。検定が単位根の帰無仮説を棄却すれば、YとXの共和分を支持する証拠となります。この検定の臨界値は、MacKinnon (1991)が作成した通り、残差が観測されたものではなく推定されたものであるため、標準ADF臨界値よりも厳格です。

エングル=グレンジャー法は直感的で実装が容易であるため、ペアトレーディング研究の最も一般的な出発点として残っています。しかし重要な制限があります。2変数間の単一の共和分関係しか検出できません。研究者がどの変数を従属変数とするかを選択する必要があり（YとXを入れ替えると結論が変わる可能性があります）、第1段階のOLS推定量は小標本で性能が低い場合があります。

ヨハンセン検定：より強力な代替手法

Johansen (1988)は、エングル=グレンジャー法の制限に対処する最尤法アプローチを開発しました。ヨハンセン検定はベクトル自己回帰（VAR）フレームワーク内で機能し、複数の変数間の複数の共和分関係を同時に検定できます。

ヨハンセン検定の主要な出力は、変数群の共和分ベクトル数（共和分ランク）です。2銘柄のペアトレーディングへの適用では、0個または1個の共和分関係が存在するかを判定します。トレース統計量と最大固有値統計量が2つの代替検定統計量を提供します。どちらも最大r個の共和分関係という帰無仮説を、より多くの関係が存在するという対立仮説に対して検定します。

ヨハンセンアプローチは実務家にいくつかの利点を提供します。従属変数を選択する必要がありません。複数の時系列を同時に処理し、トレーダーが共和分バスケット（均衡を共有する3銘柄以上）を探索できます。そして共和分ベクトルの最尤推定値を提供し、これはエングル=グレンジャーのOLS推定値よりも漸近的に効率的です。

株式AとBの2変量システムで、ヨハンセンランク1は共和分を確認し、推定された共和分ベクトルを直接提供します。ランク0は共和分が存在せず、そのペアを平均回帰スプレッドとして取引すべきではないことを意味します。

誤差修正モデル

共和分が確立されると、誤差修正モデル（ECM）は、スプレッドが逸脱した際にシステムがどのように均衡に向かって調整するかを記述します。Engle and Granger (1987)のグレンジャー表現定理から直接導かれるECMは、次の形式を取ります：

Delta_Y(t) = alpha_Y + lambda_Y * Z(t-1) + ラグ項 + epsilon_Y(t)

Delta_X(t) = alpha_X + lambda_X * Z(t-1) + ラグ項 + epsilon_X(t)

ここでZ(t-1)はラグ付きスプレッド（誤差修正項）であり、lambda係数は各株式が均衡に向かって調整する速度を測定します。lambda_Yが負で有意であれば、スプレッドが正（Yが均衡を上回っている）のときYが均衡に復帰することを意味します。lambda_Xが正で有意であれば、Xは逆方向に動きます。

ECMはどの株式が調整を行うかを明らかにするため、ペアトレーダーにとって価値があります。多くの実際のペアでは、一方の株式が他方より速く調整します。トレーダーはより速く調整する株式に大きなポジションを配置したり、ECMを使用して次の数期間のスプレッド方向を予測したりすることで、この非対称性を活用できます。

平均回帰の半減期

共和分スプレッドが平均に回帰する速度は、ペアトレードが実用的に実行可能かどうかを決定します。回帰に2年かかるスプレッドは統計的には興味深いですが、運用上は無用です。5～15取引日で回帰するスプレッドは実行可能です。

半減期は、スプレッドのモデリングに使用される離散AR(1)過程の連続時間版であるオルンシュタイン=ウーレンベック（OU）過程から導かれます。スプレッドZが次に従う場合：

Z(t) = phi * Z(t-1) + epsilon(t)

ここでphiは自己回帰係数（定常過程の場合0 < phi < 1）であり、半減期は次の通りです：

t_half = -ln(2) / ln(phi)

この公式は、平均からの偏差が半分に減衰するのに期待される期間数を示します。phiが0.95の場合、半減期は約13.5取引日を意味します。phiが0.99の場合、半減期は約69取引日を意味します。

実用的なペアトレーディングでは、半減期が5～60取引日の範囲が最も効果的な傾向があります。5日未満では、ほとんどの執行システムが取引コスト後に収益性を確保するにはスプレッドの回帰が速すぎます。60日超では、資本が長期間拘束され、共和分関係が崩壊するリスクが増大します。

実践的実装：理論から取引へ

共和分ベースのペアトレーディング戦略の構築は、上記の理論から直接マッピングされる体系的なワークフローを含みます。

第1段階は候補の特定です。すべての可能な株式ペアを検定する（深刻な多重比較問題を引き起こす）のではなく、実務家は経済的論理を使って対象を絞ります。同じ業界に属し、類似のビジネスモデルを持ち、同じ原材料投入に曝され、同じ規制フレームワークの対象となる株式は、真の長期均衡を共有する可能性が高くなります。Coca-ColaとPepsiCo、ExxonMobilとChevron、Home DepotとLowe'sが典型的な例です。経済的ファンダメンタルズから出発することで、統計的に有意な共和分結果がデータマイニングの偽の産物であるリスクが軽減されます。

第2段階は、ローリング形成ウィンドウ（通常12～24ヶ月の日次データ）にわたる共和分検定です。エングル=グレンジャーとヨハンセンの両検定を適用し、5%有意水準で両方法が共和分を確認するペアのみを保持します。共和分ベクトル（ヘッジ比率beta）はこのウィンドウから推定されます。

第3段階はスプレッドの構築と正規化です。スプレッドZ(t) = Y(t) - beta * X(t)を計算し、形成期間の平均と標準偏差を使用してzスコアに標準化します。この正規化により、異なるペアに普遍的なエントリーおよびエグジット閾値を適用できます。

第4段階はシグナル生成です。標準的なアプローチでは、zスコアが閾値（通常2.0標準偏差）を超えるとポジションを開き、ゼロに回帰するかストップロス閾値（通常3.0～4.0標準偏差）を交差すると決済します。方向はzスコアの符号で決定されます。正のzスコアはYがXに対して割高であることを意味し、トレーダーはYを売りXを買います。負のzスコアは逆の取引を引き起こします。

実証的証拠：効果はあるのか？

Gatev, Goetzmann, and Rouwenhorst (2006)は、ペアトレーディングに関する最も引用される実証研究であり、単純な距離ベースのペアトレーディング戦略が1962～2002年の米国株式で約11%の年率超過リターンを記録したことを文書化しました。この戦略は市場中立であり、ファンダメンタル分析は不要でした。純粋に統計的でした。

しかし後続の研究は、より微妙な状況を示しています。Do and Faff (2010)はGatevのサンプルを2008年まで延長し、利益が大幅に減少しており、現実的な取引コストを考慮するとエッジの大部分が消失していることを発見しました。2010年代までに、単純な距離ベースアプローチはコスト控除後にほぼゼロまたはマイナスのリターンを記録しました。

Avellaneda and Lee (2010)は、主成分分析とオルンシュタイン=ウーレンベック過程を使用するより洗練されたフレームワークを提案しました。ここで説明した共和分手法に近いこのアプローチは、ファクターモデルの残差を体系的に取引することで、米国株式で1.0以上のシャープレシオを達成しました。重要な洞察は、平均回帰速度（OUパラメータ）を取引シグナルに組み込むことで、単純な距離法と比較してパフォーマンスが大幅に向上することでした。

学術的なコンセンサスは明確です。共和分ベースおよび平均回帰速度を意識した方法は、単純な距離法を大幅に上回っており、特に市場がより効率的になりクオンツトレーダー間の競争が激化した近年の期間においてその傾向が顕著です。

共和分が崩壊する場合

共和分は統計的関係であり、自然法則ではありません。崩壊する可能性があり、実際に崩壊します。一方の企業のビジネスモデルの構造変化、合併や買収、規制の転換、競争力学の永続的変化が、歴史的に保持されていた均衡を破壊する可能性があります。酔った女性と犬の間のリードが切れると、スプレッドは永久に乖離する可能性があり、平均回帰に基づくペアトレードは無制限の損失を蓄積します。

これがペアトレーディングにおいてストップロス規律が妥協できない理由です。また、共和分関係のローリング再推定が不可欠な理由でもあります。実務家は通常1～3ヶ月ごとにヘッジ比率を再推定し共和分を再検定し、統計検定をもはや通過しないペアを除外します。

多重比較問題もまた重要な落とし穴です。数千のペアを検定し5%水準で共和分検定を通過するものを選択すると、偶然だけで多くの偽の関係が特定されます。ボンフェローニ補正や経済的フィルタリング（同業種ペアへの制限）がこの問題の緩和に役立ちますが、データ駆動型のペア選択プロセスではある程度の過学習は避けられません。

ペアからバスケットへ：多変量拡張

ヨハンセンフレームワークは3銘柄以上の共和分資産のバスケットに自然に拡張されます。3銘柄が2つの共和分関係を共有する場合、トレーダーは2つの独立した平均回帰スプレッドを構築でき、分散効果の改善と単一ペア関係崩壊リスクの軽減が期待されます。

Avellaneda and Lee (2010)はPCAから導かれた固有ポートフォリオを使用して、セクターファクターに対して構造的に定常な株式バスケットを構築しました。このアプローチはペアトレーディングを完全な統計的裁定取引フレームワークに一般化し、取引可能な平均回帰シグナルの数が有意な固有ポートフォリオ数に応じて拡大します。

数学的な機構は同じです：共和分検定、誤差修正ダイナミクス、半減期推定。しかしポートフォリオ構築はより複雑になり、ポジションサイジング、証拠金要件、複数スプレッド間の相関構造に細心の注意が必要です。

参考文献