मुख्य निष्कर्ष
ब्लैक-शोल्स मॉडल पांच इनपुट (स्टॉक मूल्य, स्ट्राइक मूल्य, समाप्ति समय, जोखिम-मुक्त दर और अस्थिरता) का उपयोग करके यूरोपीय विकल्पों के लिए एक बंद-रूप मूल्य निर्धारण समाधान प्रदान करता है। स्थिर अस्थिरता और लॉग-सामान्य रिटर्न की अपनी ज्ञात सीमाओं के बावजूद, यह मॉडल विकल्प बाजारों की सार्वभौमिक भाषा बना हुआ है। ट्रेडर इस मॉडल का उपयोग इसलिए नहीं करते कि वे इसे सही मानते हैं; वे इसका उपयोग इसलिए करते हैं क्योंकि इम्प्लाइड वोलैटिलिटी, एकमात्र मुक्त पैरामीटर, विश्वभर में विकल्प बाजारों की मानक कोटिंग परंपरा बन गई है।
ब्लैक-शोल्स ने कौन सी समस्या हल की
1973 से पहले, विकल्प ट्रेडिंग एक कला थी। डीलर अंतर्ज्ञान, मांग और आपूर्ति, और अनुभवजन्य नियमों के आधार पर कीमतें निर्धारित करते थे। विकल्प की उचित कीमत निर्धारित करने के लिए कोई व्यवस्थित ढांचा नहीं था, जिसका अर्थ था कि विभिन्न मार्केट मेकर एक ही अनुबंध के लिए बहुत अलग कीमतें कोट कर सकते थे।
फिशर ब्लैक और मायरॉन शोल्स ने 1973 में Journal of Political Economy में प्रकाशित अपने पेपर से यह बदल दिया। रॉबर्ट मर्टन ने स्वतंत्र रूप से उसी समस्या के लिए एक निरंतर-समय ढांचा विकसित किया और Bell Journal of Economics में अपना विस्तार प्रकाशित किया। मूल अंतर्दृष्टि भ्रामक रूप से सरल थी: यदि आप अंतर्निहित स्टॉक के साथ एक विकल्प को लगातार हेज कर सकते हैं, तो विकल्प की कीमत निवेशक जोखिम वरीयताओं से स्वतंत्र होनी चाहिए। इस "जोखिम-तटस्थ मूल्य निर्धारण" सिद्धांत ने उन्हें एक अद्वितीय, वरीयता-मुक्त सूत्र प्राप्त करने में सक्षम बनाया।
इस बौद्धिक उपलब्धि ने शोल्स और मर्टन को 1997 का नोबेल अर्थशास्त्र पुरस्कार दिलाया (ब्लैक 1995 में निधन हो गए थे)। अधिक व्यावहारिक रूप से, इस सूत्र ने आधुनिक डेरिवेटिव उद्योग का सूत्रपात किया। जब शिकागो बोर्ड ऑप्शंस एक्सचेंज (CBOE) ने पेपर के प्रकाशन के कुछ सप्ताह बाद अप्रैल 1973 में खोला, तो ट्रेडर अंततः व्यवस्थित रूप से विकल्पों का मूल्य निर्धारण कर सकते थे। वैश्विक डेरिवेटिव बाजार तब से 600 ट्रिलियन डॉलर से अधिक के सांकेतिक मूल्य तक बढ़ चुका है।
पांच इनपुट
यूरोपीय कॉल विकल्प के लिए ब्लैक-शोल्स सूत्र है:
C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)
जहां d1 = [ln(S/K) + (r + sigma^2/2) * T] / (sigma * sqrt(T)) और d2 = d1 - sigma * sqrt(T)।
पांच इनपुट कीमत निर्धारित करते हैं:
S (वर्तमान स्टॉक मूल्य)। वास्तविक समय में देखने योग्य। कोई अस्पष्टता नहीं।
K (स्ट्राइक मूल्य)। विकल्प अनुबंध में परिभाषित। कोई अस्पष्टता नहीं।
T (समाप्ति तक का समय)। विकल्प अनुबंध में परिभाषित। वर्षों में मापा जाता है; 30 दिन के विकल्प का T = 30/365 = 0.0822।
r (जोखिम-मुक्त दर)। आमतौर पर विकल्प की परिपक्वता से मेल खाने वाली ट्रेजरी बिल दर से अनुमानित। व्यवहार में, r में छोटी त्रुटियों का विकल्प मूल्य पर न्यूनतम प्रभाव पड़ता है।
sigma (अस्थिरता)। स्टॉक के लॉग रिटर्न का वार्षिक मानक विचलन। यह एकमात्र इनपुट है जो सीधे अवलोकन योग्य नहीं है।
यह असमानता मौलिक है। पांच इनपुट में से चार लगभग निश्चित रूप से ज्ञात हैं। विकल्प मूल्य निर्धारण की संपूर्ण चुनौती एक एकल पैरामीटर का अनुमान लगाने तक सीमित हो जाती है: अस्थिरता। यही कारण है कि विकल्प ट्रेडिंग मूल रूप से अस्थिरता ट्रेडिंग है।
ग्रीक्स: संवेदनशीलता का मापन
ग्रीक्स यह मात्रात्मक रूप से बताते हैं कि प्रत्येक इनपुट में परिवर्तन होने पर विकल्प की कीमत कैसे बदलती है। ये जोखिम प्रबंधन और हेजिंग के लिए आवश्यक उपकरण हैं।
डेल्टा स्टॉक मूल्य में परिवर्तन के प्रति विकल्प की संवेदनशीलता को मापता है। 0.60 डेल्टा वाला कॉल विकल्प स्टॉक मूल्य में प्रत्येक $1 की वृद्धि के लिए लगभग $0.60 बढ़ता है। कॉल के लिए डेल्टा 0 से 1 (और पुट के लिए -1 से 0) की सीमा में होता है। एट-द-मनी विकल्पों का डेल्टा 0.50 के करीब होता है। डीप इन-द-मनी विकल्प डेल्टा 1.0 के करीब पहुंचते हैं, लगभग स्टॉक जैसा व्यवहार करते हैं। डेल्टा जोखिम-तटस्थ माप के तहत विकल्प के इन-द-मनी समाप्त होने की संभावना का भी अनुमान लगाता है।
गामा स्टॉक मूल्य के संबंध में डेल्टा के परिवर्तन की दर को मापता है। यह उत्तलता को मात्रात्मक रूप से बताता है: स्टॉक के हिलने पर डेल्टा स्वयं कितना बदलता है। गामा समाप्ति के निकट एट-द-मनी विकल्पों के लिए सबसे अधिक होता है और डीप इन- या आउट-ऑफ-द-मनी विकल्पों के लिए शून्य के करीब होता है। उच्च गामा का अर्थ है कि स्थिति का एक्सपोजर तेजी से बदलता है, जिसके लिए अधिक बार रीबैलेंसिंग की आवश्यकता होती है। गामा वह है जो विकल्पों को अरैखिक उपकरण बनाता है।
थीटा समय क्षय की दर को मापता है। अन्य सभी शर्तें समान होने पर, विकल्प समय बीतने के साथ मूल्य खोते हैं क्योंकि बड़े अनुकूल मूव की संभावना सिकुड़ जाती है। थीटा आमतौर पर लॉन्ग विकल्प पोजीशन के लिए नकारात्मक होता है और समाप्ति के करीब आने पर तेज होता है। 30 दिन की समाप्ति वाला एट-द-मनी विकल्प प्रति दिन लगभग $0.05 खो सकता है; शेष 5 दिन होने पर, वह क्षय प्रति दिन $0.15 तक तेज हो सकता है।
वेगा इम्प्लाइड वोलैटिलिटी में परिवर्तन के प्रति संवेदनशीलता को मापता है। 0.20 का वेगा का अर्थ है कि इम्प्लाइड वोलैटिलिटी में 1 प्रतिशत बिंदु की वृद्धि से विकल्प मूल्य $0.20 बढ़ता है। वेगा लंबी समाप्ति वाले एट-द-मनी विकल्पों के लिए सबसे अधिक होता है। चूंकि अस्थिरता एकमात्र अनावलोकनीय इनपुट है, वेगा जोखिम अक्सर विकल्प पोर्टफोलियो के लिए प्रमुख विचार होता है।
रो जोखिम-मुक्त ब्याज दर के प्रति संवेदनशीलता को मापता है। 0.05 का रो का अर्थ है कि जोखिम-मुक्त दर में 1 प्रतिशत बिंदु के परिवर्तन पर विकल्प मूल्य $0.05 बदलता है। रो आमतौर पर अल्पकालिक इक्विटी विकल्पों के लिए सबसे कम महत्वपूर्ण ग्रीक होता है लेकिन दीर्घकालिक विकल्पों या उच्च-ब्याज-दर वातावरण में सार्थक हो जाता है।
ग्रीक्स संवेदनशीलता विश्लेषण
निम्नलिखित तालिका दर्शाती है कि $100 स्टॉक पर कॉल विकल्प के ग्रीक्स 5% जोखिम-मुक्त दर और 25% इम्प्लाइड वोलैटिलिटी पर कैसा व्यवहार करते हैं।
| पैरामीटर | ATM (K=100, T=90 दिन) | OTM (K=110, T=90 दिन) | ATM (K=100, T=30 दिन) | ATM (K=100, T=180 दिन) |
|---|---|---|---|---|
| मूल्य ($) | 5.38 | 1.42 | 2.89 | 7.85 |
| डेल्टा | 0.57 | 0.25 | 0.54 | 0.59 |
| गामा | 0.031 | 0.022 | 0.054 | 0.022 |
| थीटा ($/दिन) | -0.048 | -0.026 | -0.076 | -0.036 |
| वेगा ($/1% vol) | 0.196 | 0.138 | 0.112 | 0.280 |
| रो ($/1% दर) | 0.117 | 0.051 | 0.039 | 0.238 |
कई पैटर्न उभरकर सामने आते हैं। गामा ATM अल्पकालिक विकल्पों के लिए सबसे अधिक है (30 दिन ATM के लिए 0.054), जो पुष्टि करता है कि इन पोजीशन में सबसे अधिक उत्तलता होती है और सबसे सक्रिय हेजिंग की आवश्यकता होती है। थीटा भी इन्हीं विकल्पों के लिए सबसे अधिक नकारात्मक है, जो सुपरिचित ट्रेडऑफ को दर्शाता है: गामा खरीदने का अर्थ है थीटा का भुगतान करना। वेगा समाप्ति समय के साथ बढ़ता है (30 दिन का 0.112 बनाम 180 दिन का 0.280), जिसका अर्थ है कि दीर्घकालिक विकल्प अधिक अस्थिरता जोखिम वहन करते हैं। रो भी उसी पैटर्न का अनुसरण करता है, केवल लंबी परिपक्वताओं पर सार्थक होता है।
ब्लैक-शोल्स गलत क्यों है
यह मॉडल ऐसी मान्यताओं पर टिका है जो वास्तविक बाजारों में स्पष्ट रूप से उल्लंघित होती हैं।
स्थिर अस्थिरता। ब्लैक-शोल्स मानता है कि अस्थिरता (sigma) विकल्प के जीवनकाल में स्थिर रहती है। वास्तव में, अस्थिरता स्वयं स्टोकैस्टिक है: यह क्लस्टर करती है (उच्च अस्थिरता अवधि के बाद उच्च अस्थिरता अवधि आती है), यह माध्य-प्रत्यावर्तन करती है, और बाजार गिरावट के दौरान उछलने की प्रवृत्ति रखती है। इस एकल मान्यता की विफलता ने वित्तीय अनुसंधान का एक संपूर्ण उप-क्षेत्र उत्पन्न किया है।
लॉग-सामान्य रिटर्न। मॉडल मानता है कि स्टॉक रिटर्न सामान्य वितरित लॉग रिटर्न के साथ ज्यामितीय ब्राउनियन गति का अनुसरण करते हैं। अनुभवजन्य रिटर्न वितरण फैट टेल (सामान्य वितरण की भविष्यवाणी से कहीं अधिक बार चरम गतिविधियां होती हैं) और नकारात्मक तिरछापन (बड़ी गिरावट बड़ी तेजी से अधिक आम है) प्रदर्शित करते हैं। अक्टूबर 1987 की गिरावट, एक दिन में 20% से अधिक की गिरावट, सामान्य वितरण के तहत लगभग 25 मानक विचलन की घटना थी; इसकी संभावना अनिवार्य रूप से शून्य होती।
निरंतर ट्रेडिंग। मॉडल मानता है कि बाजार निरंतर संचालित होते हैं और अंतर्निहित स्टॉक को किसी भी बिंदु पर बिना घर्षण के ट्रेड किया जा सकता है। वास्तव में, बाजार रात भर बंद होते हैं, तरलता भिन्न होती है, और लेनदेन लागत सैद्धांतिक और प्राप्त करने योग्य हेज प्रदर्शन के बीच एक सार्थक अंतर बनाती है।
कोई जंप नहीं। मॉडल मानता है कि कीमतें अचानक असंतत छलांगों के बिना सुचारू रूप से चलती हैं। वास्तव में, आय घोषणाएं, भू-राजनीतिक घटनाएं और बाजार सूक्ष्मसंरचना तात्कालिक मूल्य अंतराल उत्पन्न कर सकती हैं जिन्हें निरंतर प्रक्रिया मॉडल पकड़ नहीं सकते।
वोलैटिलिटी स्माइल: व्यावहारिक निष्कर्ष
यदि ब्लैक-शोल्स सही होता, तो इम्प्लाइड वोलैटिलिटी सभी स्ट्राइक और परिपक्वताओं के लिए समान होती। ट्रेडर एक ही वोलैटिलिटी संख्या कोट करते, और समान स्टॉक पर प्रत्येक विकल्प समान sigma इम्प्लाइ करता।
ऐसा नहीं होता। जब आप ब्लैक-शोल्स सूत्र को उलटकर देखी गई बाजार कीमतों से इम्प्लाइड वोलैटिलिटी निकालते हैं, तो एक विशिष्ट पैटर्न उभरता है: आउट-ऑफ-द-मनी पुट में एट-द-मनी विकल्पों से अधिक इम्प्लाइड वोलैटिलिटी होती है, और आउट-ऑफ-द-मनी कॉल में भी थोड़ी अधिक इम्प्लाइड वोलैटिलिटी हो सकती है। स्ट्राइक मूल्य के प्रति इम्प्लाइड वोलैटिलिटी को प्लॉट करने पर एक स्माइल जैसा वक्र बनता है, या इक्विटी बाजारों में अधिक सामान्यतः, एक स्क्यू (नकारात्मक पक्ष में अधिक इम्प्लाइड वोलैटिलिटी)।
वोलैटिलिटी स्माइल 1987 की गिरावट से पहले अस्तित्व में नहीं था। गिरावट से पहले, इम्प्लाइड वोलैटिलिटी विभिन्न स्ट्राइक पर अपेक्षाकृत सपाट थी, जो ब्लैक-शोल्स मान्यता के अनुरूप था। अक्टूबर 1987 के बाद, बाजारों ने स्थायी रूप से टेल रिस्क का पुनर्मूल्यांकन किया, और स्माइल तब से एक स्थायी विशेषता बन गई है।
| स्ट्राइक (स्पॉट का %) | BS सैद्धांतिक IV | बाजार IV | अंतर |
|---|---|---|---|
| 80% (डीप OTM पुट) | 25.0% | 35.2% | +10.2% |
| 90% (OTM पुट) | 25.0% | 29.8% | +4.8% |
| 95% (हल्का OTM पुट) | 25.0% | 27.4% | +2.4% |
| 100% (ATM) | 25.0% | 25.0% | 0.0% |
| 105% (हल्का OTM कॉल) | 25.0% | 24.1% | -0.9% |
| 110% (OTM कॉल) | 25.0% | 23.8% | -1.2% |
| 120% (डीप OTM कॉल) | 25.0% | 24.5% | -0.5% |
स्माइल बाजार के टेल रिस्क मूल्यांकन को एन्कोड करती है। निम्न स्ट्राइक पुट की उच्च इम्प्लाइड वोलैटिलिटी डाउनसाइड प्रोटेक्शन की मांग और इस अनुभवजन्य वास्तविकता को दर्शाती है कि बड़ी गिरावट ब्लैक-शोल्स की भविष्यवाणी से अधिक बार होती है। डीप OTM कॉल में हल्की वृद्धि अपसाइड लॉटरी टिकट की मांग और अधिग्रहण प्रीमियम की संभावना को दर्शाती है।
बाजार भाषा के रूप में इम्प्लाइड वोलैटिलिटी
यहां एक महत्वपूर्ण वैचारिक बदलाव है। अपनी ज्ञात खामियों के बावजूद, ब्लैक-शोल्स एक व्यावहारिक उलटफेर के कारण सार्वभौमिक बना हुआ है: वोलैटिलिटी से विकल्प कीमतों की गणना करने के बजाय, ट्रेडर देखी गई कीमतों को इम्प्लाइड वोलैटिलिटी में बदलने के लिए इस मॉडल का उपयोग करते हैं।
इम्प्लाइड वोलैटिलिटी विकल्पों के लिए मानक कोटिंग परंपरा बन गई है। जब एक ट्रेडर कहता है "30-डेल्टा पुट 28 vol पर ट्रेड हो रहा है," वे ब्लैक-शोल्स को अनुवाद परत के रूप में उपयोग करते हुए वोलैटिलिटी इकाइयों में कीमत बता रहे हैं। इस परंपरा के कई लाभ हैं: यह सहज है (उच्च vol का अर्थ है अधिक महंगी सुरक्षा), यह विभिन्न स्ट्राइक और परिपक्वताओं के बीच तुलनीय है, और यह स्टॉक मूल्य और समय के यांत्रिक प्रभावों को हटा देती है।
इस अर्थ में, ब्लैक-शोल्स एक मूल्य निर्धारण मॉडल नहीं है; यह एक निर्देशांक प्रणाली है। मॉडल डॉलर कीमतों और इम्प्लाइड वोलैटिलिटी के बीच मैपिंग प्रदान करता है, और बाजार डॉलर कीमतों के बजाय सीधे वोलैटिलिटी सतह का व्यापार करता है। जो ट्रेडर "वोलैटिलिटी खरीदते हैं" वे यह दृष्टिकोण व्यक्त कर रहे हैं कि बाजार भविष्य की वास्तविक वोलैटिलिटी को कम आंक रहा है। जो "वोलैटिलिटी बेचते हैं" वे विपरीत मानते हैं।
VIX इंडेक्स, जिसे अक्सर "भय मापक" कहा जाता है, S&P 500 विकल्प कीमतों की एक श्रृंखला से मॉडल-मुक्त दृष्टिकोण का उपयोग करके गणना की जाती है लेकिन वार्षिक वोलैटिलिटी इकाइयों में उद्धृत की जाती है। इसकी व्याख्या पूरी तरह से ब्लैक-शोल्स वैचारिक ढांचे पर निर्भर करती है, भले ही इसकी गणना ब्लैक-शोल्स सूत्र का उपयोग नहीं करती।
ब्लैक-शोल्स से परे: स्माइल को संबोधित करने वाले मॉडल
ब्लैक-शोल्स की सीमाओं ने कई पीढ़ियों के बेहतर मॉडलों को प्रेरित किया है।
लोकल वोलैटिलिटी मॉडल (Dupire 1994)। ब्रुनो ड्यूपायर ने दिखाया कि एक नियतात्मक वोलैटिलिटी फ़ंक्शन sigma(S,t) का निर्माण किया जा सकता है जो सभी स्ट्राइक और परिपक्वताओं पर देखी गई विकल्प कीमतों से बिल्कुल मेल खाता है। लोकल वोलैटिलिटी सतह बाजार कीमतों से मॉडल-मुक्त निष्कर्षण है जो स्माइल को पूर्ण रूप से पुनर्उत्पादित करती है। हालांकि, लोकल वोलैटिलिटी मॉडल में एक गंभीर दोष है: वे भविष्यवाणी करते हैं कि स्टॉक के हिलने पर स्माइल सपाट हो जाती है, जो देखे गए व्यवहार का विरोधाभास करता है।
स्टोकैस्टिक वोलैटिलिटी मॉडल (Heston 1993)। स्टीवन हेस्टन ने एक मॉडल पेश किया जहां वोलैटिलिटी स्वयं माध्य-प्रत्यावर्ती स्टोकैस्टिक प्रक्रिया का अनुसरण करती है। हेस्टन मॉडल में पांच पैरामीटर हैं (दीर्घकालिक विचरण, माध्य-प्रत्यावर्तन गति, vol-of-vol, सहसंबंध, और प्रारंभिक विचरण) और अंतर्जात रूप से वोलैटिलिटी स्माइल उत्पन्न करता है। सहसंबंध पैरामीटर, जो इक्विटी के लिए आमतौर पर नकारात्मक होता है, बाजार में देखे गए असममित स्क्यू को उत्पन्न करता है।
SABR मॉडल (Hagan et al. 2002)। मूल रूप से ब्याज दर डेरिवेटिव के लिए विकसित, SABR मॉडल फॉरवर्ड मूल्य और इसकी वोलैटिलिटी दोनों के लिए स्टोकैस्टिक गतिशीलता निर्दिष्ट करता है। यह स्ट्राइक के फ़ंक्शन के रूप में इम्प्लाइड वोलैटिलिटी का एक सुविधाजनक बंद-रूप सन्निकटन प्रदान करता है।
जंप-डिफ्यूज़न मॉडल (Merton 1976)। रॉबर्ट मर्टन ने स्टॉक मूल्य में कभी-कभी असंतत जंप की अनुमति देने के लिए ब्लैक-शोल्स ढांचे का विस्तार किया, जिसे पॉइसन प्रक्रिया के रूप में मॉडल किया गया। जंप-डिफ्यूज़न मॉडल अल्पकालिक वोलैटिलिटी स्माइल उत्पन्न कर सकते हैं जो शुद्ध डिफ्यूज़न मॉडल उत्पन्न करने में संघर्ष करते हैं।
विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडलों का पदानुक्रम
| मॉडल | मुख्य नवाचार | स्माइल उत्पादन | गणना लागत | प्राथमिक उपयोग |
|---|---|---|---|---|
| ब्लैक-शोल्स (1973) | जोखिम-तटस्थ मूल्य निर्धारण, बंद-रूप | कोई नहीं (स्थिर vol मान्यता) | बहुत कम | कोटिंग परंपरा, बुनियादी हेजिंग |
| मर्टन जंप-डिफ्यूज़न (1976) | असंतत मूल्य जंप | अल्पकालिक स्माइल | कम | इवेंट रिस्क वाले इक्विटी विकल्प |
| ड्यूपायर लोकल Vol (1994) | नियतात्मक vol सतह | पूर्ण स्माइल फिट | मध्यम | एक्ज़ॉटिक विकल्प मूल्य निर्धारण |
| हेस्टन स्टोकैस्टिक Vol (1993) | माध्य-प्रत्यावर्ती vol प्रक्रिया | अंतर्जात स्माइल | मध्यम | वैनिला और एक्ज़ॉटिक इक्विटी विकल्प |
| SABR (2002) | स्टोकैस्टिक फॉरवर्ड और vol | स्माइल गतिशीलता | कम | ब्याज दर, FX विकल्प |
| रफ वोलैटिलिटी (2018+) | फ्रैक्शनल ब्राउनियन मोशन vol | यथार्थवादी अवधि संरचना | उच्च | अनुसंधान सीमांत |
गलत लेकिन उपयोगी
"सभी मॉडल गलत हैं, लेकिन कुछ उपयोगी हैं," सांख्यिकीविद् जॉर्ज बॉक्स को अक्सर श्रेय दिया जाने वाला यह वाक्यांश ब्लैक-शोल्स पर विशेष बल के साथ लागू होता है। मॉडल विशिष्ट, सुपरिचित तरीकों से गलत है: अस्थिरता स्थिर नहीं है, रिटर्न लॉग-सामान्य नहीं हैं, बाजार घर्षणरहित नहीं हैं, और कीमतें जंप कर सकती हैं। हर प्रैक्टिशनर यह जानता है।
फिर भी ब्लैक-शोल्स टिका हुआ है क्योंकि इसकी उपयोगिता इसकी सटीकता पर निर्भर नहीं करती। यह एक ऐसे बाजार को जिसे जटिल जोखिम एक्सपोज़र को सरलता से संप्रेषित करने की आवश्यकता है, एक सामान्य भाषा (इम्प्लाइड वोलैटिलिटी) प्रदान करता है। यह दैनिक जोखिम प्रबंधन के लिए पर्याप्त रूप से काम करने वाले प्रथम-क्रम हेजिंग अनुपात (डेल्टा, गामा) प्रदान करता है। और यह एक बेंचमार्क प्रदान करता है: ब्लैक-शोल्स कीमतों से विचलन (स्माइल, स्क्यू, वोलैटिलिटी की अवधि संरचना) ठीक वे घटनाएं हैं जो बताती हैं कि वास्तविक ट्रेडिंग अवसर कहां हैं।
वोलैटिलिटी स्माइल ब्लैक-शोल्स की विफलता नहीं है; यह बाजार आपको बता रहा है कि मॉडल वास्तव में कैसे और कहां टूटता है। स्माइल को पढ़ना बाजार के टेल रिस्क, जंप रिस्क और बीमा की कीमत के सामूहिक मूल्यांकन को पढ़ना है। सबसे परिष्कृत विकल्प ट्रेडर ब्लैक-शोल्स को त्यागते नहीं हैं; वे इसे अपनी निर्देशांक प्रणाली के रूप में उपयोग करते हैं और विचलन का व्यापार करते हैं।
साक्ष्य की स्थिति
ब्लैक-शोल्स ढांचा वित्त में सबसे मजबूत सैद्धांतिक आधारों में से एक पर टिका है, जो आर्बिट्रेज-मुक्त मूल्य निर्धारण और निरंतर-समय स्टोकैस्टिक कैलकुलस के गणित से प्राप्त है। इसका अनुभवजन्य रिकॉर्ड अधिक सूक्ष्म है।
सैद्धांतिक वैधता। ब्लैक-शोल्स के आधारभूत जोखिम-तटस्थ मूल्य निर्धारण सिद्धांत का व्यापक रूप से सत्यापन किया गया है। हेजिंग तर्क (निरंतर रूप से रीबैलेंस किया गया डेल्टा-तटस्थ पोर्टफोलियो जोखिम-मुक्त दर अर्जित करता है) तरल, उच्च-आवृत्ति बाजारों में लगभग सही साबित होता है। Boyle और Emanuel (1980) ने दिखाया कि असतत हेजिंग रीबैलेंसिंग अंतराल के वर्गमूल के अनुपात में ट्रैकिंग त्रुटि प्रस्तुत करती है।
अनुभवजन्य सीमाएं। स्थिर अस्थिरता की मान्यता 1987 के बाद की वोलैटिलिटी स्माइल द्वारा निर्णायक रूप से अस्वीकृत कर दी गई। Cont और Tankov (2004) ने प्रलेखित किया कि इक्विटी इंडेक्स रिटर्न 5-10 की अतिरिक्त कुर्टोसिस और -0.5 से -1.0 की नकारात्मक तिरछापन प्रदर्शित करते हैं। Bakshi, Cao और Chen (1997) ने दिखाया कि स्टोकैस्टिक वोलैटिलिटी मॉडल (विशेष रूप से हेस्टन) इक्विटी इंडेक्स विकल्पों के मूल्य निर्धारण त्रुटियों को ब्लैक-शोल्स की तुलना में 20-50% कम करते हैं।
व्यावहारिक लचीलापन। इन सीमाओं के बावजूद, ब्लैक-शोल्स कोटिंग, हेजिंग और जोखिम प्रबंधन का उद्योग मानक बना हुआ है। 2019 के Risk.net सर्वेक्षण में पाया गया कि 90% से अधिक विकल्प डेस्क ब्लैक-शोल्स इम्प्लाइड वोलैटिलिटी को अपनी प्राथमिक कोटिंग परंपरा के रूप में उपयोग करते हैं, भले ही वे मूल्य निर्धारण और हेजिंग के लिए अधिक परिष्कृत मॉडल अपनाते हैं। मॉडल की सरलता, पारदर्शिता और सार्वभौमिकता इसकी सटीकता से अधिक मूल्यवान साबित हुई है।
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यह विश्लेषण Black & Scholes (1973), Merton (1973) से QD Research Engine AI-Synthesised — Quant Decoded का स्वचालित अनुसंधान मंच — द्वारा संश्लेषित किया गया है और सटीकता के लिए हमारी संपादकीय टीम द्वारा समीक्षा की गई है। हमारी कार्यप्रणाली के बारे में और जानें.
संदर्भ
- Black, F., & Scholes, M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities." Journal of Political Economy, 81(3), 637-654. https://doi.org/10.1086/260062
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- Cont, R., & Tankov, P. (2004). Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/CRC.