मुख्य निष्कर्ष
ब्लैक-शोल्स मॉडल मानता है कि वोलैटिलिटी स्थिर है, एक सरलीकरण जो व्यवस्थित मूल्य निर्धारण त्रुटियां पैदा करता है और वास्तविक ऑप्शन बाजारों में देखी जाने वाली वोलैटिलिटी स्माइल की व्याख्या नहीं कर पाता। हेस्टन मॉडल (1993) वोलैटिलिटी को अपनी स्वयं की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का अनुसरण करने की अनुमति देकर इसे हल करता है, जो पांच पैरामीटरों द्वारा नियंत्रित होता है जो मीन रिवर्शन, वॉल-ऑफ-वॉल, और एसेट रिटर्न तथा वोलैटिलिटी के बीच सहसंबंध को कैप्चर करते हैं। इसका कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन यूरोपियन ऑप्शन कीमतों के लिए अर्ध-बंद-रूप समाधान की अनुमति देता है, जो संपूर्ण इम्प्लाइड वोलैटिलिटी सतह के लिए कैलिब्रेशन को व्यवहार्य और तेज बनाता है। प्रकाशन के तीन दशक बाद, हेस्टन मॉडल डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण, जोखिम प्रबंधन, और वोलैटिलिटी सतह निर्माण के लिए मुख्य स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी फ्रेमवर्क बना हुआ है।
स्थिर वोलैटिलिटी की समस्या
1973 में, ब्लैक और शोल्स ने वह प्रकाशित किया जो वित्त में सबसे प्रभावशाली सूत्र बनेगा। उनका ऑप्शन मूल्य निर्धारण मॉडल कई धारणाओं पर आधारित था, जिनमें सबसे महत्वपूर्ण यह थी कि अंतर्निहित एसेट की वोलैटिलिटी ऑप्शन के जीवनकाल में स्थिर रहती है। इस धारणा के तहत, एक ही अंतर्निहित और एक ही एक्सपायरी वाले ऑप्शनों की इम्प्लाइड वोलैटिलिटी सभी स्ट्राइक कीमतों पर समान होनी चाहिए।
बाजार इससे सहमत नहीं हैं। 1987 की दुर्घटना के बाद, ऑप्शन बाजारों ने एक स्थायी पैटर्न दिखाना शुरू किया: आउट-ऑफ-द-मनी पुट ऑप्शन लगातार एट-द-मनी ऑप्शन से अधिक इम्प्लाइड वोलैटिलिटी पर ट्रेड होते हैं। यह वोलैटिलिटी स्माइल (या स्मर्क, इक्विटी बाजारों में इसकी विषमता को देखते हुए) वित्त में सबसे मजबूत अनुभवजन्य नियमितताओं में से एक है। ब्लैक-शोल्स मॉडल इसे उत्पन्न नहीं कर सकता। जब ट्रेडर ब्लैक-शोल्स सूत्र का उपयोग करके बाजार कीमतों को इम्प्लाइड वोलैटिलिटी में उलटते हैं, तो वे एक ऐसी सतह पाते हैं जो स्ट्राइक कीमत और एक्सपायरी दोनों के साथ व्यवस्थित रूप से भिन्न होती है, जो स्थिर-वोलैटिलिटी धारणा का प्रत्यक्ष खंडन है।
आर्थिक अंतर्ज्ञान स्पष्ट है। वास्तविक बाजारों में वोलैटिलिटी क्लस्टर करती है: उच्च-वोलैटिलिटी दिनों के बाद उच्च-वोलैटिलिटी दिन आने की प्रवृत्ति होती है, और शांत अवधि भी बनी रहती है। वोलैटिलिटी रिटर्न के साथ नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध भी है; जब स्टॉक की कीमतें गिरती हैं, तो वोलैटिलिटी बढ़ने की प्रवृत्ति रखती है, यह लीवरेज प्रभाव है जिसे Black (1976) ने पहले प्रलेखित किया था। वोलैटिलिटी को स्थिर मानने वाला मॉडल किसी भी घटना को कैप्चर नहीं कर सकता।
हेस्टन फ्रेमवर्क
स्टीवन हेस्टन के 1993 के पेपर ने एक मॉडल पेश किया जहां एसेट मूल्य का वैरिएंस एक मीन-रिवर्टिंग वर्गमूल प्रक्रिया का अनुसरण करता है, जो दो युग्मित स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की प्रणाली बनाता है।
एसेट मूल्य S इसका अनुसरण करता है: dS = mu * S * dt + sqrt(v) * S * dW_1
वैरिएंस v इसका अनुसरण करता है: dv = kappa * (theta - v) * dt + sigma_v * sqrt(v) * dW_2
दो ब्राउनियन मोशन W_1 और W_2 गुणांक rho के साथ सहसंबद्ध हैं: dW_1 * dW_2 = rho * dt
यह प्रणाली पांच पैरामीटरों द्वारा नियंत्रित होती है, प्रत्येक की स्पष्ट आर्थिक व्याख्या है:
| पैरामीटर | प्रतीक | व्याख्या | विशिष्ट इक्विटी इंडेक्स मान | विशिष्ट व्यक्तिगत स्टॉक मान |
|---|---|---|---|---|
| मीन रिवर्शन स्पीड | kappa | वैरिएंस अपने दीर्घकालिक स्तर पर कितनी तेजी से लौटता है | 1.0 से 5.0 | 0.5 से 3.0 |
| दीर्घकालिक वैरिएंस | theta | संतुलन वैरिएंस स्तर | 0.02 से 0.06 (वोलैटिलिटी 14% से 24%) | 0.04 से 0.15 (वोलैटिलिटी 20% से 39%) |
| वॉल ऑफ वॉल | sigma_v | वैरिएंस प्रक्रिया कितनी अस्थिर है | 0.3 से 0.8 | 0.5 से 1.5 |
| सहसंबंध | rho | रिटर्न और वैरिएंस परिवर्तनों के बीच संबंध | -0.9 से -0.5 | -0.8 से -0.3 |
| प्रारंभिक वैरिएंस | v_0 | मूल्य निर्धारण समय पर वर्तमान वैरिएंस | बाजार-इम्प्लाइड | बाजार-इम्प्लाइड |
मीन-रिवर्टिंग संरचना यह सुनिश्चित करती है कि वैरिएंस अनंत तक नहीं बढ़ता या शून्य तक नहीं गिरता (कुछ शर्तों के तहत)। वैरिएंस डायनेमिक्स में वर्गमूल पद sqrt(v) वर्तमान वैरिएंस स्तर के अनुपात में शोर को स्केल करता है, फेलर शर्त पूरी होने पर वैरिएंस को ऋणात्मक होने से रोकता है: 2 * kappa * theta > sigma_v वर्ग। जब यह शर्त पूरी होती है, तो वैरिएंस प्रक्रिया सख्ती से धनात्मक बनी रहने की गारंटी होती है। जब यह उल्लंघित होती है, तो वैरिएंस शून्य को छू सकता है लेकिन तुरंत वापस परावर्तित होता है, जिसके लिए सावधानीपूर्वक संख्यात्मक उपचार की आवश्यकता होती है लेकिन आर्थिक रूप से यह उचित रहता है।
रो (Rho) स्क्यू क्यों उत्पन्न करता है
सहसंबंध पैरामीटर rho वोलैटिलिटी स्क्यू का सबसे महत्वपूर्ण एकल चालक है। इक्विटी बाजारों में, rho लगातार ऋणात्मक है, आमतौर पर -0.5 और -0.9 के बीच। इस नकारात्मक सहसंबंध का अर्थ है कि जब स्टॉक मूल्य गिरता है (dW_1 ऋणात्मक है), तो वैरिएंस बढ़ने की प्रवृत्ति रखता है (चिह्न संरचना को देखते हुए dW_2 भी ऋणात्मक है, और वैरिएंस SDE dW_2 ऋणात्मक होने पर v को ऊपर धकेलता है)।
ऑप्शन मूल्य निर्धारण पर प्रभाव गहरा है। ऋणात्मक rho का अर्थ है कि स्टॉक मूल्य में गिरावट बढ़ती वोलैटिलिटी से जुड़ी है, जो बड़ी गिरावट को स्थिर-वोलैटिलिटी मॉडल की भविष्यवाणी से अधिक संभावित बनाती है। यह विषमता आउट-ऑफ-द-मनी कॉल की तुलना में आउट-ऑफ-द-मनी पुट की कीमतों को बढ़ाती है, इक्विटी इंडेक्स ऑप्शनों में देखा जाने वाला स्क्यू उत्पन्न करती है।
| Rho मान | स्क्यू आकार | बाजार उपमा |
|---|---|---|
| rho = 0 | सममित स्माइल | शुद्ध vol-of-vol प्रभाव |
| rho = -0.3 | हल्का स्क्यू | व्यक्तिगत स्टॉक ऑप्शन |
| rho = -0.7 | तीव्र स्क्यू | इक्विटी इंडेक्स ऑप्शन |
| rho = -0.9 | अत्यधिक तीव्र स्क्यू | दुर्घटना-प्रवण बाजार |
| rho = +0.3 | रिवर्स स्क्यू | कुछ कमोडिटी ऑप्शन |
जब rho शून्य होता है, तब भी मॉडल केवल vol-of-vol पैरामीटर sigma_v से स्माइल (डीप इन-द-मनी और आउट-ऑफ-द-मनी ऑप्शनों के लिए ऊंची इम्प्लाइड वोलैटिलिटी) उत्पन्न करता है। लेकिन स्माइल सममित होती है। इस सममिति को तोड़ने और इक्विटी इम्प्लाइड वोलैटिलिटी वक्रों की विशिष्ट बाएं-विषम आकृति बनाने वाला ऋणात्मक rho है।
कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन दृष्टिकोण
हेस्टन पेपर का सबसे महत्वपूर्ण तकनीकी योगदान यह प्रदर्शित करना था कि लॉग-एसेट मूल्य के कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन का उपयोग करके यूरोपियन ऑप्शन कीमतों की अर्ध-बंद रूप में गणना की जा सकती है। यह एक सफलता थी क्योंकि स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी मॉडल के लिए मूल्य निर्धारण PDE का प्रत्यक्ष समाधान आमतौर पर अव्यवहार्य होता है।
लॉग मूल्य ln(S_T) का कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन phi(u) जोखिम-तटस्थ संभाव्यता घनत्व का फूरियर ट्रांसफॉर्म देता है। हेस्टन ने दिखाया कि इस फंक्शन का एक्सपोनेंशियल-एफिन रूप है: phi(u) = exp(C(u, T) + D(u, T) * v_0 + i * u * ln(S_0))
फंक्शन C और D सामान्य अवकल समीकरणों (रिकाटी समीकरणों) को संतुष्ट करते हैं जो जटिल एक्सपोनेंशियल और लॉगरिथम वाले विश्लेषणात्मक समाधान स्वीकार करते हैं। एक बार कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन ज्ञात हो जाने पर, यूरोपियन कॉल और पुट कीमतों को संख्यात्मक इंटीग्रेशन के माध्यम से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
प्लेन-वैनिला मूल्य निर्धारण के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन की तुलना में इस दृष्टिकोण के तीन प्रमुख लाभ हैं। पहला, यह नाटकीय रूप से तेज है; एकल ऑप्शन मूल्य के लिए हजारों सिमुलेटेड पथों पर औसत के बजाय एक-आयामी इंटीग्रल के मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। दूसरा, यह संख्यात्मक इंटीग्रेशन त्रुटि तक सटीक है, मोंटे कार्लो अनुमानों में निहित सांख्यिकीय शोर को समाप्त करता है। तीसरा, यह कुशल कैलिब्रेशन को सक्षम बनाता है क्योंकि संपूर्ण इम्प्लाइड वोलैटिलिटी सतह की गणना सेकंडों में की जा सकती है, जो ग्रेडिएंट-आधारित ऑप्टिमाइजेशन को देखी गई बाजार कीमतों पर मॉडल पैरामीटरों को फिट करने की अनुमति देता है।
एक्सोटिक ऑप्शनों (बैरियर, लुकबैक, और पथ-निर्भर पेऑफ) के लिए, हेस्टन डायनेमिक्स के तहत मोंटे कार्लो सिमुलेशन अभी भी आवश्यक है। लेकिन कैलिब्रेशन चरण के लिए, जिसमें वैनिला यूरोपियन ऑप्शनों पर फिटिंग शामिल है, कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन दृष्टिकोण अपरिहार्य है।
कैलिब्रेशन: वोलैटिलिटी सतह फिटिंग
कैलिब्रेशन वह प्रक्रिया है जो देखी गई बाजार इम्प्लाइड वोलैटिलिटी सतह को सबसे अच्छी तरह पुनर्उत्पादित करने वाले पांच हेस्टन पैरामीटरों को खोजती है। विशिष्ट प्रक्रिया स्ट्राइक कीमतों और मैच्योरिटी के ग्रिड पर मॉडल-इम्प्लाइड और बाजार-इम्प्लाइड वोलैटिलिटी के बीच वर्गित अंतरों के योग को न्यूनतम करती है।
कैलिब्रेशन गुणवत्ता वोलैटिलिटी सतह की समृद्धि पर निर्भर करती है। तरल इक्विटी इंडेक्स ऑप्शन (S&P 500, Euro Stoxx 50) घने ग्रिड प्रदान करते हैं, जो सटीक पैरामीटर अनुमान को सक्षम बनाते हैं। कम तरल बाजारों में शोरयुक्त डेटा पर ओवरफिटिंग रोकने के लिए रेगुलराइजेशन या बेयसियन प्रायर्स की आवश्यकता हो सकती है।
S&P 500 इंडेक्स ऑप्शनों के लिए एक विशिष्ट कैलिब्रेशन परिणाम इस प्रकार हो सकता है:
| पैरामीटर | कैलिब्रेटेड मान | व्याख्या |
|---|---|---|
| kappa | 2.5 | वैरिएंस हाफ-लाइफ लगभग 100 ट्रेडिंग दिन |
| theta | 0.035 | दीर्घकालिक वोलैटिलिटी लगभग 18.7% |
| sigma_v | 0.55 | मध्यम vol-of-vol |
| rho | -0.72 | मजबूत नकारात्मक लीवरेज प्रभाव |
| v_0 | 0.028 | वर्तमान वोलैटिलिटी लगभग 16.7% |
कैलिब्रेटेड rho -0.72 इक्विटी बाजारों में लीवरेज प्रभाव पर दशकों के अनुभवजन्य साक्ष्य के अनुरूप है। kappa 2.5 का अर्थ है ln(2)/2.5, लगभग 0.28 वर्ष या लगभग 70 ट्रेडिंग दिनों का वैरिएंस हाफ-लाइफ, जिसका मतलब है कि वोलैटिलिटी शॉक के बाद, दीर्घकालिक मीन से विचलन का लगभग आधा तीन महीने के भीतर विलुप्त हो जाता है।
एक प्रसिद्ध सीमा यह है कि हेस्टन मॉडल एकल पैरामीटर सेट के साथ वोलैटिलिटी सतह के अति-अल्पकालिक और अति-दीर्घकालिक खंडों को एक साथ फिट नहीं कर सकता। अल्पकालिक ऑप्शनों को देखे गए तीव्र स्क्यू से मिलान के लिए उच्चतर प्रभावी vol-of-vol की आवश्यकता होती है, जबकि दीर्घकालिक ऑप्शन कम मान सुझाते हैं। इस तनाव ने डबल हेस्टन मॉडल (दो स्वतंत्र वैरिएंस प्रक्रियाएं) और ब्राउनियन ड्राइवर को फ्रैक्शनल ब्राउनियन मोशन से बदलने वाले रफ वोलैटिलिटी मॉडल जैसे विस्तारों को प्रेरित किया है।
हेस्टन बनाम ब्लैक-शोल्स: अंतर कहां मायने रखता है
हेस्टन और ब्लैक-शोल्स के बीच मूल्य निर्धारण अंतर सभी ऑप्शनों में एक समान नहीं है। विशेष रूप से छोटी मैच्योरिटी पर आउट-ऑफ-द-मनी पुट और डीप इन-द-मनी कॉल के लिए सबसे बड़ा है।
| ऑप्शन प्रकार | मनीनेस | हेस्टन बनाम BS अंतर | दिशा |
|---|---|---|---|
| पुट | 10% OTM | +25% से +60% | हेस्टन अधिक कीमत |
| पुट | 5% OTM | +10% से +30% | हेस्टन अधिक कीमत |
| कॉल/पुट | ATM | -2% से +5% | लगभग समान |
| कॉल | 5% OTM | -5% से +10% | मिश्रित |
| कॉल | 10% OTM | +5% से +25% | हेस्टन अधिक कीमत |
सबसे बड़ी विसंगतियां आउट-ऑफ-द-मनी पुट में दिखाई देती हैं क्योंकि हेस्टन मॉडल में ऋणात्मक rho रिटर्न वितरण में मोटी बाईं पूंछ उत्पन्न करता है। ब्लैक-शोल्स द्वारा 0.50 पर मूल्यांकित आउट-ऑफ-द-मनी पुट हेस्टन के तहत 0.70 से 0.80 की कीमत की हो सकती है, जो ऋणात्मक सहसंबंध के साथ स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी द्वारा सुझाई गई बड़ी नीचे की गतिविधियों की उच्चतर संभावना को दर्शाती है।
एट-द-मनी ऑप्शनों के लिए, दो मॉडल अक्सर निकट से सहमत होते हैं क्योंकि एट-द-मनी इम्प्लाइड वोलैटिलिटी प्रारंभिक वैरिएंस v_0 के वर्गमूल के लगभग बराबर होती है, जिसे दोनों मॉडल इनपुट के रूप में उपयोग करते हैं। जैसे-जैसे ऑप्शन मनी से दूर जाता है या एक्सपायरी समय कम होता है, विचलन बढ़ता है।
सीमाएं और विस्तार
हेस्टन मॉडल, अपनी सुंदरता के बावजूद, कई ज्ञात सीमाएं रखता है।
यह जो वोलैटिलिटी स्माइल उत्पन्न करता है, वह सभी बाजार विन्यासों से मिलान के लिए पर्याप्त लचीला नहीं है। मॉडल मुख्य रूप से rho पैरामीटर के माध्यम से स्क्यू और sigma_v के माध्यम से वक्रता उत्पन्न करता है, लेकिन विभिन्न मैच्योरिटी पर स्माइल के विंग्स को स्वतंत्र रूप से नियंत्रित करने की स्वतंत्रता का अभाव है। व्यवहार में, इसका अर्थ है कि अंतर्निहित बाजार स्थितियां पर्याप्त रूप से नहीं बदली होने पर भी कैलिब्रेटेड पैरामीटर विभिन्न ट्रेडिंग दिनों में अस्थिर हो सकते हैं।
एसेट कीमतों में जंप (जैसे कि अर्निंग्स अनाउंसमेंट या भू-राजनीतिक घटनाओं के दौरान होने वाले) मूल हेस्टन फ्रेमवर्क से अनुपस्थित हैं। बेट्स मॉडल (1996) एसेट मूल्य प्रक्रिया में जंप-डिफ्यूजन घटक जोड़कर हेस्टन का विस्तार करता है, कैरेक्टरिस्टिक फंक्शन की विश्लेषणात्मक क्षमता बनाए रखते हुए अल्पकालिक स्माइल के लिए बेहतर फिट प्रदान करता है।
फेलर शर्त 2 * kappa * theta > sigma_v वर्ग इक्विटी इंडेक्स ऑप्शनों के लिए कैलिब्रेटेड हेस्टन पैरामीटरों में अक्सर उल्लंघित होती है। जब sigma_v kappa * theta के सापेक्ष बड़ा होता है, तो वैरिएंस प्रक्रिया शून्य तक पहुंच सकती है, कुछ मूल्य निर्धारण योजनाओं के लिए संख्यात्मक चुनौतियां पैदा करती है। आधुनिक कार्यान्वयन सावधानीपूर्वक डिस्क्रीटाइजेशन (Lord, Koekkoek, और Van Dijk (2010) की फुल ट्रंकेशन स्कीम) के माध्यम से या यह स्वीकार करके इसे संभालते हैं कि सैद्धांतिक सीमा व्यवहार व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए आर्थिक रूप से अप्रासंगिक है।
इन सीमाओं के बावजूद, हेस्टन मॉडल डिफॉल्ट स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी बेंचमार्क बना हुआ है क्योंकि यह विश्लेषणात्मक सुविधा, आर्थिक व्याख्यात्मकता, और कैलिब्रेशन गुणवत्ता के बीच संतुलन बनाता है। अधिक परिष्कृत मॉडल (SABR, रफ बेर्गोमी, लोकल-स्टोकेस्टिक वोलैटिलिटी हाइब्रिड) विशिष्ट संदर्भों में बेहतर फिट प्रदान करते हैं लेकिन बढ़ी जटिलता, धीमे कैलिब्रेशन, या बंद-रूप मूल्य निर्धारण की हानि की कीमत पर।
कार्यान्वयन योग्य निष्कर्ष
हेस्टन मॉडल की स्थायी प्रासंगिकता पांच आर्थिक रूप से सार्थक पैरामीटरों को एक पूर्ण इम्प्लाइड वोलैटिलिटी सतह में अनुवाद करने की क्षमता में है। प्रैक्टिशनरों के लिए, मॉनिटर करने योग्य मुख्य पैरामीटर rho (स्क्यू चलाने वाला लीवरेज प्रभाव), sigma_v (स्माइल वक्रता नियंत्रित करने वाला vol-of-vol), और kappa (वोलैटिलिटी शॉक के क्षय की गति नियंत्रित करने वाली मीन रिवर्शन स्पीड) हैं। जब कैलिब्रेटेड rho ऐतिहासिक मानदंडों से अधिक ऋणात्मक हो जाता है, तो बाजार बढ़े हुए दुर्घटना जोखिम को मूल्य में शामिल कर रहे होते हैं। जब sigma_v बढ़ता है, तो बाजार भविष्य की वोलैटिलिटी को अधिक अनिश्चितता प्रदान कर रहा होता है। इन गतिशीलताओं को समझने से किसी भी स्थिर-वोलैटिलिटी फ्रेमवर्क की तुलना में ऑप्शन मूल्य निर्धारण की अधिक पूर्ण तस्वीर मिलती है।
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Written by James Chen · Reviewed by Sam
यह लेख उद्धृत प्राथमिक साहित्य पर आधारित है और सटीकता तथा उचित श्रेय के लिए हमारी संपादकीय टीम द्वारा समीक्षित है। संपादकीय नीति.
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