मुख्य निष्कर्ष
GARCH(1,1) अपने परिचय के चार दशक बाद भी अस्थिरता पूर्वानुमान का प्रमुख मॉडल बना हुआ है, जो केवल तीन पैरामीटर से सशर्त विचरण गतिशीलता के 90% से अधिक को पकड़ता है। EGARCH और GJR-GARCH जैसे असममित विस्तार लीवरेज प्रभाव को मॉडल करके बाजार तनाव के दौरान प्रदर्शन में सुधार करते हैं, लेकिन Hansen और Lunde (2005) ने 330 GARCH प्रकारों की तुलना में पाया कि दैनिक विनिमय दर अस्थिरता के लिए अच्छी तरह से अनुमानित GARCH(1,1) को कोई भी मॉडल लगातार पराजित नहीं कर पाया। व्यावहारिक सबक स्पष्ट है: मॉडल की सरलता अक्सर नमूना-बाहर पूर्वानुमान में जटिलता को पराजित करती है।
स्थिर से सशर्त अस्थिरता तक
Robert Engle ने 1982 में अपना युगांतरकारी शोधपत्र प्रकाशित करने से पहले, वित्तीय अर्थमिति अस्थिरता को स्थिरांक मानती थी। पोर्टफोलियो अनुकूलन पूरे नमूने से प्राप्त एकल विचरण अनुमान का उपयोग करता था, जोखिम माप स्थिर वितरण मानते थे, और विकल्पों की कीमत इस धारणा के तहत निर्धारित की जाती थी कि अस्थिरता एक ज्ञात, स्थिर पैरामीटर है। कुछ महीनों से अधिक बाजारों का अवलोकन करने वाला कोई भी व्यक्ति जानता था कि यह गलत था। अस्थिरता समूहबद्ध होती है: शांत अवधि बनी रहती है, और अशांत अवधि भी बनी रहती है। 1987 अक्टूबर की दुर्घटना, 1997 एशियाई वित्तीय संकट, और 2008 वैश्विक वित्तीय संकट सभी ने नाटकीय अस्थिरता समूहबद्धता प्रदर्शित की जो स्थिर-विचरण मॉडल पकड़ नहीं सकते थे।
Engle (1982) ने स्वप्रतिगामी सशर्त विषम विचरण (ARCH) मॉडल के साथ इस अवलोकन को औपचारिक रूप दिया। विचरण को स्थिर मानने के बजाय, ARCH मॉडल समय t पर सशर्त विचरण को पिछले रिटर्न शॉक वर्गों पर निर्भर होने देता है। सबसे सरल ARCH(1) विनिर्देशन में:
h(t) = omega + alpha * epsilon(t-1)^2
जहां h(t) सशर्त विचरण है, omega आधारभूत विचरण स्तर है, epsilon(t-1) पिछली अवधि का रिटर्न शॉक है, और alpha यह निर्धारित करता है कि कल का शॉक आज के विचरण अनुमान को कितना प्रभावित करता है। जब alpha बड़ा होता है, तो एक बड़ा रिटर्न शॉक (सकारात्मक या नकारात्मक) अगली अवधि के अनुमानित विचरण में बड़ी वृद्धि करता है। जब alpha छोटा होता है, तो मॉडल स्थिर विचरण के करीब होता है।
ARCH मॉडल ने Engle को 2003 के नोबेल अर्थशास्त्र पुरस्कार में हिस्सा दिलाया। लेकिन मूल सूत्रीकरण में एक व्यावहारिक सीमा थी: अस्थिरता समूहबद्धता के धीमे क्षय को पकड़ने के लिए, कई विलंबित वर्ग रिटर्न (उच्च-क्रम ARCH) की आवश्यकता थी, जिसके लिए कई पैरामीटर अनुमानित करने पड़ते थे और अक्सर अस्थिर अनुमान उत्पन्न होते थे।
GARCH(1,1) की सफलता
Bollerslev (1986) ने सामान्यीकृत ARCH मॉडल, या GARCH के साथ इस सरलता समस्या को हल किया। मुख्य अंतर्दृष्टि विलंबित सशर्त विचरण को स्वयं एक भविष्यवक्ता के रूप में शामिल करना थी:
h(t) = omega + alpha * epsilon(t-1)^2 + beta * h(t-1)
यह एकल समीकरण, GARCH(1,1), रिटर्न शॉक के तत्काल प्रभाव (alpha के माध्यम से) और पिछली अस्थिरता की दृढ़ता (beta के माध्यम से) दोनों को पकड़ता है। पैरामीटर beta वर्ग रिटर्न के पूरे इतिहास पर एक घातीय समतलन भार के रूप में कार्य करता है, जो केवल तीन पैरामीटर से दीर्घ-स्थायी अस्थिरता समूहों को उत्पन्न करता है।
alpha + beta का योग दृढ़ता पैरामीटर है। जब यह योग 1 के करीब होता है, तो अस्थिरता के प्रति शॉक धीरे-धीरे समाप्त होते हैं, और बिना शर्त विचरण omega / (1 - alpha - beta) बड़ा होता है। जब योग ठीक 1 होता है, तो प्रक्रिया समाकलित GARCH (IGARCH) होती है, जिसका अर्थ है कि अस्थिरता शॉक कभी पूरी तरह समाप्त नहीं होते। दैनिक इक्विटी रिटर्न के लिए अनुभवजन्य अनुमान आमतौर पर alpha + beta को 0.97 और 0.995 के बीच देते हैं, जो बहुत उच्च दृढ़ता को दर्शाता है।
निम्न तालिका दैनिक रिटर्न का उपयोग करते हुए प्रमुख संपत्ति वर्गों के लिए विशिष्ट GARCH(1,1) पैरामीटर अनुमान दिखाती है:
| संपत्ति | omega | alpha | beta | alpha + beta | अर्ध-जीवन (दिन) |
|---|---|---|---|---|---|
| S&P 500 | 0.000002 | 0.09 | 0.90 | 0.99 | 69 |
| EUR/USD | 0.000001 | 0.04 | 0.95 | 0.99 | 69 |
| 10Y UST | 0.000003 | 0.05 | 0.93 | 0.98 | 34 |
| स्वर्ण | 0.000004 | 0.07 | 0.91 | 0.98 | 34 |
| कच्चा तेल | 0.000008 | 0.08 | 0.90 | 0.98 | 34 |
| बिटकॉइन | 0.000025 | 0.12 | 0.85 | 0.97 | 23 |
अर्ध-जीवन स्तंभ दिखाता है कि अस्थिरता शॉक को अपने प्रारंभिक प्रभाव के आधे तक क्षीण होने में कितने दिन लगते हैं, जो ln(0.5) / ln(alpha + beta) के रूप में गणना किया जाता है। उच्च दृढ़ता का अर्थ है कि शॉक अधिक समय तक गूंजते हैं, जो जोखिम प्रबंधन अवधियों और विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए महत्वपूर्ण है।
लीवरेज प्रभाव: गिरावट अस्थिरता को क्यों बढ़ाती है
GARCH(1,1) जो एक घटना चूकता है वह सकारात्मक बनाम नकारात्मक रिटर्न के प्रति अस्थिरता प्रतिक्रिया की असमानता है। अनुभवजन्य रूप से, नकारात्मक रिटर्न शॉक समान परिमाण के सकारात्मक शॉक की तुलना में बाद की अस्थिरता को अधिक बढ़ाते हैं। यह लीवरेज प्रभाव है, जिसे सबसे पहले Black (1976) ने प्रलेखित किया, जिन्होंने परिकल्पना की कि गिरती शेयर कीमतें फर्म के लीवरेज अनुपात को बढ़ाती हैं, जिससे इक्विटी अधिक अस्थिर हो जाती है।
दो प्रमुख विस्तार इस असमानता को संबोधित करते हैं।
Nelson (1991) ने घातीय GARCH (EGARCH) मॉडल प्रस्तावित किया, जो विचरण के बजाय विचरण के लघुगणक को मॉडल करता है:
ln h(t) = omega + alpha * [|z(t-1)| - E|z(t-1)|] + gamma * z(t-1) + beta * ln h(t-1)
जहां z(t-1) मानकीकृत अवशिष्ट है। पैरामीटर gamma असमानता को पकड़ता है: जब gamma ऋणात्मक होता है, तो नकारात्मक शॉक सकारात्मक शॉक की तुलना में अस्थिरता को अधिक बढ़ाते हैं। चूंकि मॉडल लघुगणक पैमाने पर काम करता है, यह पैरामीटर प्रतिबंधों के बिना स्वचालित रूप से सुनिश्चित करता है कि सशर्त विचरण हमेशा धनात्मक रहे।
Glosten, Jagannathan, और Runkle (1993) ने GJR-GARCH मॉडल प्रस्तावित किया, जो एक संकेतक फलन जोड़ता है:
h(t) = omega + (alpha + gamma * I(t-1)) * epsilon(t-1)^2 + beta * h(t-1)
जहां I(t-1) epsilon(t-1) ऋणात्मक होने पर 1 और अन्यथा 0 होता है। पैरामीटर gamma नकारात्मक शॉक के अतिरिक्त अस्थिरता प्रभाव को पकड़ता है। S&P 500 के लिए, विशिष्ट अनुमान gamma को लगभग 0.10 से 0.15 देते हैं, जिसका अर्थ है कि -2% रिटर्न +2% रिटर्न की तुलना में अगले दिन के सशर्त विचरण को लगभग 50-75% अधिक बढ़ाता है।
निम्न तालिका S&P 500 दैनिक रिटर्न (1990-2024) के लिए इन विनिर्देशनों की मॉडल फिट की तुलना करती है:
| मॉडल | पैरामीटर | लॉग-लाइकलीहुड | AIC | BIC | लीवरेज पकड़ा |
|---|---|---|---|---|---|
| GARCH(1,1) | 3 | -9842 | 19690 | 19712 | नहीं |
| EGARCH(1,1) | 4 | -9798 | 19604 | 19633 | हां |
| GJR-GARCH(1,1) | 4 | -9801 | 19610 | 19639 | हां |
| GARCH(2,1) | 4 | -9840 | 19688 | 19717 | नहीं |
| TGARCH(1,1) | 4 | -9803 | 19614 | 19643 | हां |
असममित मॉडल (EGARCH, GJR-GARCH, TGARCH) सूचना मानदंडों पर सममित GARCH को लगातार पराजित करते हैं। दूसरा GARCH विलंब जोड़ना (GARCH(2,1)) लगभग कोई सुधार नहीं देता, जो पुष्टि करता है कि अतिरिक्त विलंबों की तुलना में लीवरेज प्रभाव अधिक महत्वपूर्ण है।
व्यवहार में पैरामीटर अनुमान
GARCH पैरामीटर आमतौर पर अधिकतम संभाव्यता द्वारा अनुमानित किए जाते हैं। इस धारणा के तहत कि मानकीकृत अवशिष्ट सामान्य वितरण का अनुसरण करते हैं, T अवलोकनों के नमूने के लिए लॉग-संभाव्यता फलन है:
L = -0.5 * sum[ln(h(t)) + epsilon(t)^2 / h(t)]
व्यवहार में, वित्तीय रिटर्न सामान्य वितरण से अधिक मोटी पूंछ प्रदर्शित करते हैं, इसलिए Student-t वितरण या सामान्यीकृत त्रुटि वितरण (GED) सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। त्रुटि वितरण का चयन अनुमानित पैरामीटरों और पूंछ जोखिम पूर्वानुमान की गुणवत्ता को प्रभावित करता है।
मजबूत अनुमान के लिए कई व्यावहारिक विचार महत्वपूर्ण हैं। स्थिर पैरामीटर अनुमान प्राप्त करने के लिए नमूना आकार कम से कम 1,000 दैनिक अवलोकन (लगभग चार वर्ष) होना चाहिए। अनुकूलन रूटीन को जहां उपलब्ध हो विश्लेषणात्मक प्रवणता का उपयोग करना चाहिए, और स्थानीय इष्टतम से बचने के लिए परिणामों को कई प्रारंभिक मूल्यों के विरुद्ध जांचना चाहिए। मानक त्रुटियों की गणना Bollerslev और Wooldridge (1992) के मजबूत (सैंडविच) अनुमानक का उपयोग करके की जानी चाहिए, जो त्रुटि वितरण गलत निर्दिष्ट होने पर भी वैध रहता है।
एक सामान्य गलती संरचनात्मक विराम पर विचार किए बिना बहुत उच्च beta अनुमानों (0.95 से ऊपर) की व्याख्या करना है। यदि नमूना एक ऐसी अवधि में फैला है जिसमें मूलभूत शासन परिवर्तन (जैसे उच्च से निम्न मुद्रास्फीति में संक्रमण) शामिल है, तो GARCH मॉडल परिणामी विचरण बदलाव को अत्यधिक दृढ़ता के लिए जिम्मेदार ठहराता है, beta को अधिक अनुमानित करता है और मॉडल की पूर्वानुमान सटीकता को कम करता है।
पूर्वानुमान सटीकता: व्यवहार में क्या काम करता है
Hansen और Lunde (2005) ने GARCH-प्रकार मॉडलों की सबसे व्यापक तुलना की, IBM स्टॉक रिटर्न और DM/USD विनिमय दर रिटर्न की दैनिक अस्थिरता पूर्वानुमान के लिए 330 विभिन्न विनिर्देशनों का मूल्यांकन किया। उनके निष्कर्ष आश्चर्यजनक रूप से निर्णायक थे:
विनिमय दर डेटा के लिए, कोई भी मॉडल GARCH(1,1) से महत्वपूर्ण रूप से बेहतर प्रदर्शन नहीं कर पाया। इक्विटी डेटा के लिए, असममित मॉडल (EGARCH, GJR-GARCH) ने सममित GARCH पर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सुधार प्रदान किया। लीवरेज प्रभाव इक्विटी बाजारों में मुद्रा बाजारों की तुलना में अधिक स्पष्ट है, जहां नकारात्मक रिटर्न-अस्थिरता सहसंबंध अधिक मजबूत है।
निम्न तालिका GARCH(1,1) के सापेक्ष माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) द्वारा मापी गई नमूना-बाहर पूर्वानुमान सटीकता को सारांशित करती है (1.00 पर सामान्यीकृत):
| मॉडल | S&P 500 MSE | EUR/USD MSE | 10Y UST MSE |
|---|---|---|---|
| GARCH(1,1) | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| EGARCH(1,1) | 0.93 | 0.99 | 0.97 |
| GJR-GARCH(1,1) | 0.94 | 1.00 | 0.98 |
| GARCH(2,2) | 1.01 | 1.00 | 1.01 |
| Component GARCH | 0.96 | 0.98 | 0.96 |
1.00 से नीचे के मान GARCH(1,1) से बेहतर पूर्वानुमान सटीकता दर्शाते हैं। पैटर्न सुसंगत है: असममित मॉडल इक्विटी अस्थिरता पूर्वानुमान को 6-7% सुधारते हैं, बॉन्ड के लिए सीमांत लाभ प्रदान करते हैं, और मुद्राओं के लिए लगभग कोई फर्क नहीं पड़ता। अधिक जटिल सममित मॉडल शायद ही कभी सहायक होते हैं।
जोखिम प्रबंधन और विकल्प मूल्य निर्धारण में अनुप्रयोग
GARCH मॉडल आधुनिक वित्त में दो प्रमुख व्यावहारिक कार्य करते हैं।
जोखिम प्रबंधन में, GARCH-आधारित जोखिम मूल्य (VaR) और अपेक्षित कमी (ES) गणनाएं वर्तमान अस्थिरता शासन पर जोखिम अनुमान को सशर्त करती हैं। शांत अवधि के दौरान, GARCH-आधारित VaR कसता है, जिससे समान जोखिम बजट के भीतर बड़ी स्थितियों की अनुमति मिलती है। अशांत अवधि के दौरान, यह विस्तारित होता है, स्वचालित रूप से स्थिति के आकार को कम करता है। यह सशर्त दृष्टिकोण बिना शर्त विधियों की तुलना में अधिक सटीक जोखिम पूर्वानुमान उत्पन्न करता है, विशेष रूप से Basel III जैसे नियामक ढांचे द्वारा उपयोग की जाने वाली 1-दिन और 10-दिन की अवधियों पर।
विकल्प मूल्य निर्धारण में, GARCH मॉडल विवेक-समय अर्थमितीय मॉडलिंग और निरंतर-समय विकल्प मूल्यांकन के बीच की खाई को पाटते हैं। Duan (1995) ने स्थानीय रूप से जोखिम-तटस्थ मूल्यांकन संबंध (LRNVR) विकसित किया, जो ऐतिहासिक रिटर्न से अनुमानित GARCH पैरामीटर को जोखिम-तटस्थ माप के तहत विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए उपयोग करने की अनुमति देता है। मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि GARCH द्वारा पकड़ी गई अस्थिरता दृढ़ता निहित अस्थिरता की अवधि संरचना में अनुवादित होती है: उच्च दृढ़ता (alpha + beta 1 के करीब) एक चापटी अवधि संरचना उत्पन्न करती है, जबकि कम दृढ़ता एक तीव्र अवधि संरचना उत्पन्न करती है। असममित GARCH मॉडल अतिरिक्त रूप से निहित अस्थिरता स्क्यू उत्पन्न करते हैं, बाजार की नकारात्मक जोखिम को अधिक भारी रूप से मूल्य में प्रतिबिंबित करने की प्रवृत्ति को पकड़ते हैं।
सीमाएं और आधुनिक विकल्प
GARCH मॉडल एकल आवृत्ति पर काम करते हैं, आमतौर पर दैनिक। समेकन के बिना वे अंतर-दिवसीय डेटा की सूचना सामग्री का उपयोग नहीं कर सकते, और समेकन संभावित रूप से मूल्यवान उच्च-आवृत्ति संकेतों को छोड़ देता है। अंतर-दिवसीय रिटर्न से निर्मित वास्तविक अस्थिरता माप अधिक सटीक दैनिक विचरण अनुमान प्रदान करते हैं और HAR (विषमांगी स्वप्रतिगामी) मॉडल के इनपुट के रूप में काम कर सकते हैं जो एक साथ कई अवधियों पर पूर्वानुमान लगाते हैं।
GARCH मॉडल सशर्त विचरण समीकरण के लिए एक पैरामीट्रिक संरचना मानते हैं, जो केंद्रीय बैंक नीति बदलाव या भू-राजनीतिक शॉक जैसे अचानक शासन परिवर्तनों के लिए पर्याप्त तेजी से अनुकूलित नहीं हो सकती। शासन-स्विचिंग GARCH मॉडल अतिरिक्त पैरामीटर और अनुमान जटिलता की कीमत पर विभिन्न बाजार अवस्थाओं में विभिन्न पैरामीटर सेट की अनुमति देकर इसे संबोधित करते हैं।
LSTM तंत्रिका नेटवर्क और वृक्ष-आधारित मॉडल सहित मशीन लर्निंग दृष्टिकोण GARCH के रैखिक विचरण समीकरण द्वारा छूटे गैर-रैखिक पैटर्न को पकड़कर अस्थिरता पूर्वानुमान के लिए संभावना दिखा रहे हैं। हालांकि, इन मॉडलों को काफी अधिक डेटा की आवश्यकता होती है, ये अधि-अनुकूलन के प्रति संवेदनशील हैं, और GARCH मॉडलों को नियामक रिपोर्टिंग और जोखिम संवाद के लिए उपयोगी बनाने वाली व्याख्येयता का अभाव है।
इन सीमाओं के बावजूद, GARCH कई कारणों से मानक बना हुआ है: यह संगणनात्मक रूप से तेज है, सैद्धांतिक रूप से आधारित है, व्याख्या में आसान है, और दशकों के अनुभवजन्य साक्ष्य द्वारा अच्छी तरह समर्थित है। जोखिम प्रबंधन और व्युत्पन्न मूल्य निर्धारण के अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, अच्छी तरह से अनुमानित GARCH(1,1) या GJR-GARCH(1,1) उचित प्रारंभ बिंदु बना रहता है।
कार्रवाई योग्य निष्कर्ष
GARCH मॉडल परिवार ने अस्थिरता को एक स्थिर पैरामीटर से एक गतिशील, पूर्वानुमेय मात्रा में बदल दिया। व्यवसायियों के लिए, साक्ष्य एक स्पष्ट पदानुक्रम का समर्थन करता है: सरलता और मजबूती के लिए GARCH(1,1) से शुरू करना उचित होता है, जहां लीवरेज प्रभाव महत्वपूर्ण है वहां इक्विटी अस्थिरता मॉडलिंग के लिए GJR-GARCH या EGARCH में उन्नयन करना लाभदायक होता है, और जटिलता जोड़ने (उच्च क्रम, विदेशी वितरण, या शासन स्विचिंग) से बचना उचित होता है जब तक कि अतिरिक्त पैरामीटर पूर्वानुमान में सुधार करते हैं इसका मजबूत नमूना-बाहर साक्ष्य न हो। alpha + beta का योग सबसे महत्वपूर्ण एकल नैदानिक संकेतक है; 0.98 से ऊपर के मान उच्च दृढ़ता दर्शाते हैं और सुझाव देते हैं कि अस्थिरता शासन बदलाव धीमे होने की संभावना अधिक होती है, जबकि 0.95 से नीचे के मान तेज माध्य-प्रत्यावर्तन और छोटी पूर्वानुमान अवधियों की ओर इशारा करते हैं।
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Written by James Chen · Reviewed by Sam
यह लेख उद्धृत प्राथमिक साहित्य पर आधारित है और सटीकता तथा उचित श्रेय के लिए हमारी संपादकीय टीम द्वारा समीक्षित है। हमारी कार्यप्रणाली के बारे में और जानें.
संदर्भ
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Nelson, D. B. (1991). "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach." Econometrica, 59(2), 347-370. https://doi.org/10.2307/2938260
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Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). "On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks." Journal of Finance, 48(5), 1779-1801. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1993.tb05128.x
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Hansen, P. R., & Lunde, A. (2005). "A Forecast Comparison of Volatility Models: Does Anything Beat a GARCH(1,1)?" Journal of Applied Econometrics, 20(7), 873-889. https://doi.org/10.1002/jae.800
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Duan, J.-C. (1995). "The GARCH Option Pricing Model." Mathematical Finance, 5(1), 13-32. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1995.tb05185.x
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Bollerslev, T., & Wooldridge, J. M. (1992). "Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances." Econometric Reviews, 11(2), 143-172. https://doi.org/10.2307/2951764
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