मुख्य निष्कर्ष
केली मानदंड दीर्घकालिक संपत्ति को अधिकतम करने के लिए दांव और पोर्टफोलियो पोजीशन साइजिंग का गणितीय रूप से इष्टतम नियम प्रदान करता है। सूचना सिद्धांत से व्युत्पन्न, यह सकारात्मक अपेक्षित मूल्य वाले किसी भी अवसर पर पूंजी का कितना प्रतिशत जोखिम में डालना चाहिए, यह सटीक रूप से बताता है। पूर्ण केली संपत्ति की ज्यामितीय वृद्धि दर को अधिकतम करता है, लेकिन अनुमान त्रुटियों और भारी पूंछ वाले वितरण के कारण वास्तविक बाजारों में पूर्ण केली खतरनाक रूप से आक्रामक है, इसलिए व्यवसायी लगभग सार्वभौमिक रूप से आंशिक केली (आमतौर पर आधा केली) का उपयोग करते हैं।
सूचना सिद्धांत से इष्टतम सट्टेबाजी तक
1956 में, बेल प्रयोगशालाओं के भौतिक विज्ञानी John Larry Kelly Jr. ने एक शोध पत्र प्रकाशित किया जो गंभीर जुआरियों और निवेशकों की पोजीशन साइजिंग के बारे में सोच को चुपचाप बदल देगा। Kelly वित्त का अध्ययन नहीं कर रहे थे; वे Claude Shannon के संचार चैनलों पर मूलभूत कार्य के आधार पर सूचना सिद्धांत पर काम कर रहे थे। उनकी अंतर्दृष्टि सुरुचिपूर्ण थी: बढ़त रखने वाले जुआरी की समस्या शोर युक्त चैनल पर सूचना प्रसारित करने की समस्या के गणितीय रूप से समतुल्य है।
Kelly (1956) ने एक सरल प्रश्न उठाया: यदि आपके पास बार-बार किए जाने वाले दांव में बढ़त है, तो संपत्ति की दीर्घकालिक वृद्धि दर को अधिकतम करने के लिए हर बार अपनी पूंजी का कितना प्रतिशत दांव पर लगाना चाहिए? इसका उत्तर, जिसे अब केली मानदंड कहा जाता है, आश्चर्यजनक रूप से सटीक है।
एक सरल द्विआधारी दांव में जहां आप संभावना p से जीतते हैं और संभावना q = 1 - p से हारते हैं, और जीत पर b-से-1 का भुगतान मिलता है, दांव लगाने का इष्टतम अंश है:
f* = (bp - q) / b
इस सूत्र की एक सुंदर व्याख्या है। अंश bp - q प्रति डॉलर दांव पर आपकी अपेक्षित बढ़त है। b से विभाजित करने पर दांव का आकार भुगतान अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती हो जाता है; उच्च भुगतान में अधिक प्रसरण होता है इसलिए छोटे आनुपातिक दांव की आवश्यकता होती है।
सिक्का उछाल का उदाहरण
मान लें कि एक सिक्का 60% बार चित आता है, और भुगतान 1 से 1 (b = 1) है। आपकी बढ़त वास्तविक लेकिन मामूली है। अपनी पूंजी का कितना प्रतिशत दांव पर लगाना चाहिए?
केली सूत्र लागू करने पर: f* = (1 x 0.60 - 0.40) / 1 = 0.20
केली कहता है कि हर बार वर्तमान पूंजी का 20% दांव लगाएं। 50% नहीं। 5% भी नहीं। ठीक 20%।
अधिक क्यों नहीं? क्योंकि ज्यामितीय चक्रवृद्धि के गणित के कारण अत्यधिक दांव संपत्ति को नष्ट कर देता है। यदि आप 60/40 सिक्के पर पूंजी का 50% दांव लगाते हैं, तो सकारात्मक बढ़त होने के बावजूद अंततः दिवालिया हो जाएंगे। प्रसरण बढ़त को दबा देता है। जीत और हार की एक श्रृंखला के बाद, आपकी पूंजी उस मार्ग का अनुसरण करती है जहां प्रतिफल का ज्यामितीय माध्य दीर्घकालिक भाग्य निर्धारित करता है, न कि अंकगणितीय माध्य।
केली-इष्टतम 20% दांव के साथ 100 बार सिक्का उछालने के बाद, अपेक्षित ज्यामितीय वृद्धि दर प्रति दांव लगभग 2% है। 1,000 बार के बाद, प्रारंभिक $1,000 सामान्यतः $300,000 से अधिक तक बढ़ जाएगा। उसी सिक्के पर 50% दांव के साथ, आपके पास शुरुआती राशि से कम होने की संभावना अधिक होगी।
ज्यामितीय वृद्धि क्यों महत्वपूर्ण है
केली मानदंड संपत्ति के अपेक्षित लघुगणक को अधिकतम करता है, जो ज्यामितीय वृद्धि दर को अधिकतम करने के समतुल्य है। अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रतिफल के बीच यह अंतर केली के कार्य करने के कारण को समझने के लिए मौलिक है।
Latané (1959) ने स्वतंत्र रूप से पोर्टफोलियो सिद्धांत के दृष्टिकोण से उसी सिद्धांत पर पहुंचे, यह तर्क देते हुए कि निवेशकों को पोर्टफोलियो प्रतिफल के ज्यामितीय माध्य को अधिकतम करना चाहिए। उनका तर्क सीधा था: लंबे क्षितिज पर, सबसे अधिक ज्यामितीय वृद्धि दर वाला पोर्टफोलियो लगभग निश्चित रूप से अन्य सभी पर हावी होगा।
प्रतिफल का अंकगणितीय माध्य भ्रामक हो सकता है। एक पोर्टफोलियो जो 100% कमाता है और फिर 50% खोता है, उसका प्रति अवधि अंकगणितीय औसत प्रतिफल 25% है, लेकिन निवेशक ठीक उसी स्थान पर लौट आता है जहां से शुरू किया था। ज्यामितीय माध्य (2.0 x 0.5) = 1.0 शून्य वृद्धि को सही ढंग से दर्शाता है।
लाभ और हानि के बीच इस विषमता को प्रसरण ड्रैग कहा जाता है। किसी भी दिए गए अंकगणितीय माध्य प्रतिफल के लिए, उच्च प्रसरण ज्यामितीय माध्य को कम करता है। यह संबंध लगभग इस प्रकार है:
ज्यामितीय माध्य = अंकगणितीय माध्य - प्रसरण / 2
केली मानदंड इस ड्रैग को अंतर्निहित रूप से ध्यान में रखता है। यह अंकगणितीय बढ़त से प्रसरण दंड को घटाकर अधिकतम करने वाला दांव आकार खोजता है, जो उच्चतम ज्यामितीय वृद्धि दर उत्पन्न करता है।
दांव से पोर्टफोलियो तक
जोखिम-मुक्त दर r से ऊपर अपेक्षित अतिरिक्त प्रतिफल mu और अस्थिरता sigma वाले एकल निवेश के लिए, केली मानदंड सतत रूप लेता है:
f* = (mu - r) / sigma^2
इस सूत्र की एक सहज संरचना है। अपेक्षित अतिरिक्त प्रतिफल अधिक होने पर अधिक निवेश किया जाता है और अस्थिरता अधिक होने पर कम। इष्टतम पोजीशन आकार अपेक्षित प्रतिफल के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है लेकिन अस्थिरता के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। अस्थिरता को दोगुना करने से इष्टतम पोजीशन आधी नहीं, बल्कि एक चौथाई हो जाती है।
12% अपेक्षित प्रतिफल, 4% जोखिम-मुक्त दर और 20% वार्षिक अस्थिरता वाले शेयर पर विचार करें। केली-इष्टतम आवंटन है:
f* = (0.12 - 0.04) / (0.20)^2 = 0.08 / 0.04 = 2.0
केली कहता है कि इस शेयर में पूंजी के 200% तक लीवरेज लगाएं। यह परिणाम तुरंत पूर्ण केली की शक्ति और खतरे दोनों को प्रकट करता है: सैद्धांतिक इष्टतम अक्सर इतना आक्रामक लीवरेज मांगता है कि अधिकांश निवेशक भयभीत हो जाते हैं, और इसके पर्याप्त कारण हैं।
आंशिक केली की आवश्यकता
गणितज्ञ Edward Thorp, जिन्होंने कार्ड काउंटिंग से ब्लैकजैक को हराकर प्रसिद्धि पाई और बाद में अत्यंत सफल हेज फंड Princeton Newport Partners चलाया, व्यवहार में केली मानदंड के सबसे प्रभावशाली समर्थक बने। लेकिन Thorp एक महत्वपूर्ण संशोधन के बारे में उतने ही दृढ़ थे: कभी भी पूर्ण केली का उपयोग न करें।
Thorp (2006) ने तर्क दिया कि आंशिक केली, आमतौर पर केली-इष्टतम राशि की आधी दांव लगाना, कई कारणों से व्यवहार में कहीं अधिक श्रेष्ठ है।
पहला, पैरामीटर अनिश्चितता। केली सूत्र मानता है कि आप जीतने की सटीक संभावना और भुगतान अनुपात जानते हैं। वास्तव में, ये पैरामीटर त्रुटि के साथ अनुमानित होते हैं। अपनी बढ़त को अधिक आंकने से अत्यधिक दांव होता है, जो विनाशकारी है। यदि आपकी वास्तविक बढ़त अनुमान की आधी है, तो गलत अनुमान पर आधारित पूर्ण केली आपको वास्तविक केली अंश के दोगुने पर रखता है, जो खतरे के क्षेत्र में गहराई तक है जहां ज्यामितीय वृद्धि ऋणात्मक हो जाती है।
दूसरा, प्रसरण कमी। पूर्ण केली पोर्टफोलियो मूल्य में भारी उतार-चढ़ाव उत्पन्न करता है। पूर्ण केली के तहत लघु-संपत्ति पथ का मानक विचलन आश्चर्यजनक रूप से बड़ा होता है। आधा केली पूर्ण केली की वृद्धि दर का 75% प्राप्त करता है लेकिन प्रसरण केवल आधा होता है। अधिकांश निवेशकों के लिए, यह विनिमय अत्यधिक अनुकूल है।
तीसरा, ड्रॉडाउन प्रबंधन। पूर्ण केली के तहत अधिकतम ड्रॉडाउन सतत समय में सैद्धांतिक रूप से असीमित है। आधे केली के तहत, अपेक्षित ड्रॉडाउन नाटकीय रूप से छोटे होते हैं। Thorp ने दर्ज किया कि उनकी स्वयं की ट्रेडिंग में बढ़त अनुमान में विश्वास के आधार पर 0.1 से 0.5 तक के केली अंश का उपयोग किया गया।
सामान्य आंशिक केली दृष्टिकोण इष्टतम दांव को 0 और 1 के बीच के गुणांक c से गुणा करता है:
f_actual = c x f*
c = 0.5 (आधा केली) पर, दीर्घकालिक वृद्धि दर का केवल लगभग 25% त्याग करते हुए अस्थिरता 50% कम हो जाती है। c = 0.25 (चौथाई केली) पर, वृद्धि दर का लगभग 44% त्याग होता है लेकिन अस्थिरता 75% कम हो जाती है। आंशिक केली के तहत वृद्धि दर है:
g(c) = c x (mu - r) - c^2 x sigma^2 / 2
यह एक द्विघात फलन है जो c = 1 (पूर्ण केली) पर अधिकतम और c = 2 (दोहरा केली) पर शून्य होता है। केली राशि के दोगुने से अधिक दांव लगाने से ऋणात्मक ज्यामितीय वृद्धि होती है; समय के साथ दिवालियापन निश्चित हो जाता है।
अत्यधिक दांव का खतरा
केली सिद्धांत से सबसे महत्वपूर्ण व्यावहारिक शिक्षा कम दांव और अत्यधिक दांव के बीच की विनाशकारी विषमता है।
यदि आप केली राशि का आधा दांव लगाते हैं, तो इष्टतम वृद्धि दर का 75% प्राप्त करते हैं। यदि केली राशि का दोगुना दांव लगाते हैं, तो वृद्धि दर शून्य हो जाती है, बिल्कुल दांव न लगाने के बराबर। दोहरे केली से अधिक होने पर, वृद्धि दर ऋणात्मक हो जाती है और दिवालियापन निश्चित हो जाता है।
इस विषमता के गहन निहितार्थ हैं। कम दांव का कारण बनने वाली अनुमान त्रुटियां अपेक्षाकृत हानिरहित हैं; कुछ वृद्धि छूट जाती है लेकिन संपत्ति अभी भी सकारात्मक रूप से चक्रवृद्धि होती है। अत्यधिक दांव का कारण बनने वाली त्रुटियां संभावित रूप से विनाशकारी हैं; अत्यधिक साइजिंग का दंड कम साइजिंग के दंड से कहीं अधिक तीव्र है।
यही कारण है कि अनुभवी केली व्यवसायी हमेशा सतर्क पक्ष में रहते हैं। अत्यधिक रूढ़िवादी होने की लागत मामूली है। अत्यधिक आक्रामक होने की लागत दिवालियापन है।
बहु-परिसंपत्ति केली: पोर्टफोलियो संस्करण
एकाधिक परिसंपत्तियों वाले पोर्टफोलियो के लिए, केली मानदंड सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग करके विस्तारित होता है। Thorp (2006) ने बहु-परिसंपत्ति सूत्रीकरण प्रस्तुत किया, और MacLean, Thorp, Ziemba (2011) ने निश्चयात्मक पाठ्यपुस्तक स्तरीय उपचार प्रदान किया।
यदि mu अपेक्षित अतिरिक्त प्रतिफल का सदिश है और Sigma सहप्रसरण मैट्रिक्स है, तो केली-इष्टतम पोर्टफोलियो भार हैं:
f* = Sigma^(-1) x mu
यह जोखिम-विमुखता गुणांक 1 (लघुगणकीय उपयोगिता के अनुरूप) के साथ माध्य-प्रसरण इष्टतम पोर्टफोलियो के समान है। यह संबंध संयोग नहीं है: जब प्रतिफल सामान्य वितरण का अनुसरण करते हैं, तो संपत्ति के अपेक्षित लघुगणक को अधिकतम करना केली के अनुरूप विशिष्ट जोखिम-विमुखता पैरामीटर के साथ माध्य-प्रसरण अनुकूलन के समतुल्य है।
बहु-परिसंपत्ति सूत्रीकरण दर्शाता है कि केली स्वाभाविक रूप से विविधीकरण करता है। उच्च अपेक्षित प्रतिफल वाली परिसंपत्तियों को बड़ा भार मिलता है, लेकिन सहप्रसरण मैट्रिक्स सुनिश्चित करता है कि अत्यधिक सहसंबद्ध परिसंपत्तियां अधिक भारित न हों। केली का पोर्टफोलियो संस्करण वस्तुतः माध्य-प्रसरण सिद्धांत से स्पर्शरेखा पोर्टफोलियो का इष्टतम रूप से लीवरेज्ड संस्करण है।
लघुगणकीय उपयोगिता से संबंध
केली मानदंड संपत्ति की अपेक्षित लघुगणकीय उपयोगिता को अधिकतम करने के समतुल्य है। लघुगणकीय उपयोगिता फलन U(W) = ln(W) वाला निवेशक एकल-अवधि पोर्टफोलियो समस्या का अनुकूलन करते समय ठीक केली सूत्र पर पहुंचता है।
यह संबंध सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है। लघुगणकीय उपयोगिता में कई आकर्षक गुण हैं: यह एकमात्र उपयोगिता फलन है जिसके लिए इष्टतम रणनीति निकटदृष्टि (निवेश क्षितिज से स्वतंत्र) होती है, और यह एक वृद्धि-इष्टतम पोर्टफोलियो उत्पन्न करती है जो दीर्घकाल में लगभग निश्चित रूप से अन्य सभी रणनीतियों से बेहतर प्रदर्शन करेगी।
हालांकि, लघुगणकीय उपयोगिता जोखिम-विमुखता के एक विशिष्ट स्तर को भी निहित करती है। लघुगणकीय उपयोगिता द्वारा निहित स्तर से अधिक जोखिम-विमुखता वाले निवेशक को केली से कम दांव लगाना चाहिए, जो व्यावहारिक मूलभूत विकल्प के रूप में आंशिक केली की ओर वापस ले जाता है।
व्यावहारिक पोर्टफोलियो साइजिंग उदाहरण
निम्नलिखित अनुमानित विशेषताओं वाली एक व्यवस्थित इक्विटी मोमेंटम रणनीति का मूल्यांकन करने वाले निवेशक पर विचार करें: अपेक्षित वार्षिक अतिरिक्त प्रतिफल 6%, वार्षिक अस्थिरता 15%, और जोखिम-मुक्त दर 4%।
इस रणनीति का पूर्ण केली अंश है:
f* = 0.06 / (0.15)^2 = 0.06 / 0.0225 = 2.67
पूर्ण केली पूंजी के 267% तक लीवरेज करने को कहता है। यह आक्रामक है। आधे केली (c = 0.5) पर, आवंटन 133% हो जाता है। चौथाई केली (c = 0.25) पर, यह 67% है, जो अधिकांश संस्थागत निवेशक उचित मानेंगे।
अपेक्षित ज्यामितीय वृद्धि दरें इस प्रकार हैं:
पूर्ण केली: g = 0.06 - (0.15)^2 / 2 = जोखिम-मुक्त दर से ऊपर वार्षिक 4.88%
आधा केली: g = 0.5 x 0.06 - 0.25 x (0.15)^2 / 2 = जोखिम-मुक्त से ऊपर 2.72%
चौथाई केली: g = 0.25 x 0.06 - 0.0625 x (0.15)^2 / 2 = जोखिम-मुक्त से ऊपर 1.43%
पूर्ण केली और चौथाई केली के बीच वृद्धि दर का अंतर वार्षिक लगभग 3.4 प्रतिशत अंक है। लेकिन पूर्ण केली पोर्टफोलियो की अस्थिरता 40% (2.67 x 15%) है, जबकि चौथाई केली पोर्टफोलियो की अस्थिरता 10% (0.67 x 15%) है। अधिकांश निवेशकों के लिए, आंशिक केली का जोखिम-समायोजित विनिमय स्पष्ट रूप से श्रेष्ठ है।
सीमाएं और आलोचनाएं
केली मानदंड उन धारणाओं पर आधारित है जो वास्तविक बाजारों में अपूर्ण रूप से पूरी होती हैं।
पैरामीटर अनिश्चितता सबसे मौलिक समस्या है। सूत्र को अपेक्षित प्रतिफल और अस्थिरता का सटीक ज्ञान चाहिए। व्यवहार में, अपेक्षित प्रतिफल भारी अनिश्चितता के साथ अनुमानित होते हैं। किसी शेयर का अपेक्षित अतिरिक्त प्रतिफल 6% प्लस या माइनस 8% हो सकता है। इतने व्यापक विश्वास अंतरालों के साथ, केली अंश स्वयं अत्यधिक अनिश्चित हो जाता है, और पूर्ण केली लापरवाह हो जाता है।
भारी पूंछ वाले वितरण सतत गॉसियन सन्निकटन को अमान्य कर देते हैं। वास्तविक बाजार प्रतिफल सामान्य वितरण की भविष्यवाणी से कहीं अधिक कुर्टोसिस प्रदर्शित करते हैं। चरम घटनाएं केली के गणितीय ढांचे की अपेक्षा से अधिक बार घटित होती हैं। यह अत्यधिक दांव को मानक सिद्धांत के सुझाव से भी अधिक खतरनाक बनाता है।
Ole Peters (2019) द्वारा प्रस्तुत गैर-एर्गोडिकता तर्क एक गहरी आलोचना प्रदान करता है। Peters ने तर्क दिया कि मानक अपेक्षित उपयोगिता ढांचा समय माध्य और समूह माध्य को मिला देता है। संपत्ति वृद्धि जैसी गुणात्मक प्रक्रियाओं में, समय माध्य (एकल निवेशक का अनुभव) समूह माध्य (कई निवेशकों का औसत) से भिन्न होता है। केली मानदंड समय माध्य (ज्यामितीय वृद्धि दर) को अधिकतम करके इस समस्या को सही ढंग से हल करता है, लेकिन Peters का कार्य यह उजागर करता है कि कई पारंपरिक वित्त मॉडल अंतर्निहित रूप से गलत मात्रा का अनुकूलन कर रहे हैं।
प्रतिफल में क्रमिक सहसंबंध, लेनदेन लागत, और लीवरेज तथा शॉर्ट-सेलिंग पर प्रतिबंध व्यावहारिक अनुप्रयोग को और जटिल बनाते हैं। माध्य-प्रत्यावर्तन प्रतिफल वाली रणनीति का केली अंश स्वतंत्र समान वितरण के मामले से भिन्न होता है, और इसे नजरअंदाज करने से उपइष्टतम साइजिंग हो सकती है।
केली कब सबसे अच्छा काम करता है
केली मानदंड उन परिवेशों में सबसे शक्तिशाली है जहां बढ़त अच्छी तरह से चरित्रित है और खेल कई बार दोहराया जाता है। ब्लैकजैक में कार्ड काउंटिंग, जहां Thorp ने पहली बार इसे लागू किया, एक विहित उदाहरण है: बढ़त की सटीक गणना की जा सकती है, खेल हजारों बार दोहराया जाता है, और परिणामों का वितरण अच्छी तरह समझा जाता है।
वित्तीय बाजारों में, केली छोटी होल्डिंग अवधि और अच्छी तरह अनुमानित बढ़त वाली रणनीतियों पर सबसे अधिक लागू होता है: उच्च-आवृत्ति मार्केट मेकिंग, बड़े नमूना आकार वाला सांख्यिकीय आर्बिट्राज, और लंबे ट्रैक रिकॉर्ड वाली व्यवस्थित रणनीतियां। पैरामीटर अनिश्चितता के प्रभुत्व वाले केंद्रित दीर्घकालिक निवेशों पर यह सबसे कम लागू होता है।
केली मानदंड का स्थायी योगदान सूत्र स्वयं नहीं बल्कि यह जो विचार का ढांचा प्रदान करता है, उसमें है। पोजीशन साइजिंग एक सहायक विचार नहीं है; यह संकेत जितना ही महत्वपूर्ण है। इष्टतम दांव का आकार बढ़त से प्रसरण के अनुपात पर निर्भर करता है, केवल बढ़त पर नहीं। अत्यधिक दांव कम दांव से कहीं अधिक खतरनाक है। और दीर्घकालिक संपत्ति निर्धारित करने वाला ज्यामितीय वृद्धि दर है, अंकगणितीय अपेक्षित प्रतिफल नहीं।
संबंधित
यह विश्लेषण Quant Decoded Research से QD Research Engine AI-Synthesised — Quant Decoded का स्वचालित अनुसंधान मंच — द्वारा संश्लेषित किया गया है और सटीकता के लिए हमारी संपादकीय टीम द्वारा समीक्षा की गई है। हमारी कार्यप्रणाली के बारे में और जानें.
References
- Kelly, J. L. (1956). "A New Interpretation of Information Rate." Bell System Technical Journal, 35(4), 917-926. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
- Latané, H. A. (1959). "Criteria for Choice Among Risky Ventures." Journal of Political Economy, 67(2), 144-155. https://doi.org/10.1086/257819
- Thorp, E. O. (2006). "The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market." In Handbook of Asset and Liability Management. https://doi.org/10.1142/9789812773548_0029
- MacLean, L. C., Thorp, E. O., & Ziemba, W. T. (2011). The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice. World Scientific. https://doi.org/10.1142/8042
- Peters, O. (2019). "The Ergodicity Problem in Economics." Nature Physics, 15, 1216-1221. https://doi.org/10.1038/s41567-019-0732-0