VaR vs. CVaR：実際にどちらのリスク指標を使うべきか？

最悪の結果を無視するリスク指標

1999年、4人の数学者 (Philippe Artzner、Freddy Delbaen、Jean-Marc Eber、David Heath) が、金融業界のリスク測定に対する考え方を根本的に変えた論文を発表した。Mathematical Financeに掲載された"Coherent Measures of Risk"で示された彼らの主張は、驚くほどシンプルだった。世界で最も広く使われているリスク指標であるVaR（Value at Risk）には、リスク管理者を積極的に誤った方向へ導きかねない数学的欠陥があるというものだ。代替案として彼らが提案したCVaR（Conditional Value at Risk、期待ショートフォール（Expected Shortfall）とも呼ばれる）は、以来、銀行規制、ポートフォリオ最適化、機関投資家のリスク管理の中核的存在となった。

VaRとCVaRの違いを理解することは、単なる学術的関心にとどまらない。この違いは、機関がポジションサイズをどう決定し、自己資本準備金をどう設定し、そして何よりも重要なこととして、ポートフォリオを破壊しうるテールイベント（極端な損失事象）を過小評価していないかどうかを決定する。

VaRが教えてくれること（そして隠していること）

VaRは特定の問いに答える：「所与の信頼水準で、所与の期間において予想される最大損失はいくらか？」95%の日次VaRが100万ドルということは、取引日の95%でポートフォリオの損失が100万ドルを超えないことを意味する。同様に、取引日の5% (おおよそ月に1回) で損失は100万ドルを超える。

VaRは1990年代にJ.P. MorganのRiskMetricsシステムを通じてリスク測定の業界標準となった。その魅力は明快さにあった。ポートフォリオ全体のリスクを一つの数値で要約できたのだ。規制当局がこれを採用し、取締役会メンバーも理解でき、リスク管理者は複雑なマルチアセットポートフォリオに対しても計算できた。

しかしVaRには致命的な盲点がある。閾値を超えた先で何が起こるかについて、一切の情報を与えてくれないのだ。95% VaRが100万ドルであれば、取引日の5%で損失がこの金額を超えることは分かる。だが、その5%の日の損失が110万ドルなのか5,000万ドルなのか; VaRはこの2つのシナリオを区別しない。VaRはテール（裾）への入口がどこにあるかは教えてくれるが、その奥の部屋がどれほど深いかは教えてくれない。

この盲点は理論上のものにとどまらない。2008年の金融危機では、多くの機関のリスクシステムが安心できるVaR数値を報告していたにもかかわらず、実際のテール損失は桁違いに大きかった。VaRモデルは「悪い日にはX程度の損失があり得る」と伝えていたが、実際の悪い日には5Xや10Xの損失をもたらした。

コヒーレンス（整合性）問題

Artzner et al. (1999)は、「コヒーレント」なリスク指標が満たすべき4つの性質を定義することで、この問題を定式化した：

1. 移動不変性（Translation invariance）。 ポートフォリオにリスクフリー資産を加えると、測定されるリスクはその資産の金額分だけ減少すべきである。100万ドルの現金を加えれば、リスクは100万ドル減少すべきである。

2. 劣加法性（Subadditivity）。 統合されたポートフォリオのリスクは、各構成部分のリスクの合計を超えてはならない。これは分散投資の原理であり; ポジションを統合してもリスクが増加してはならない。数学的には：ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)。

3. 正の同次性（Positive homogeneity）。 ポジションを2倍にすれば、リスクも2倍になるべきである。

4. 単調性（Monotonicity）。 ポートフォリオXが常にポートフォリオY以上の収益を上げるならば、Xのリスクは同等以下であるべきである。

VaRはこれらの性質のうち3つを満たすが、劣加法性を満たさない。この欠如は数学的な好奇心にとどまらず、実務上の帰結を伴う。2人のトレーダーがそれぞれ集中ポジションを保有しているとしよう。トレーダーAの95% VaRは100万ドル。トレーダーBの95% VaRは100万ドル。会社が2つのブックを統合すると、合算した95% VaRが200万ドル (各部分の合計) を超えうるのだ。リスク管理の最も基本的な原則である分散投資が、VaRの下ではリスクを増加させるように見えてしまう。

これはVaRが単一の分位点しか見ないために生じる。2つのポートフォリオを統合すると、VaR閾値を超えた損失分布の形状が変化し、全体の分布のテールが薄くなっていても閾値自体が外側に押し出されることがある。この指標は分布の形状に対して「盲目」であり、単一の切断点のみを報告する。

CVaR：VaRの先にあるリスク

CVaR（期待ショートフォール（Expected Shortfall）または条件付きテール期待値（Conditional Tail Expectation）とも呼ばれる）は異なる問いを投げかける：「損失がVaR閾値を超えた場合、期待される損失はいくらか？」95% VaRが100万ドルならば、95% CVaRは最悪の5%の取引日における平均損失である。

CVaRは劣加法性を含む4つのコヒーレンス公理すべてを満たす。2つのポートフォリオを統合しても、個別のCVaRの合計を超えるCVaRは生じない。分散投資はCVaRの下では常に機能する。

さらに重要なのは、CVaRがテール損失の頻度だけでなく、その深刻度も捉える点である。2つのポートフォリオが同一のVaRを持ちながら、CVaRは大きく異なることがある：

ポートフォリオBはポートフォリオAと同じVaRを持つが、CVaRは3倍以上である。VaRのみを使用するリスク管理者は、これら2つのポートフォリオを同等のリスクとして扱うだろう。CVaRを使用するリスク管理者は、ポートフォリオBがはるかに大きなテールリスクを抱えていることを即座に認識するだろう。

最適化の突破口

Rockafellar and Uryasev (2000)は第二の重要な進展をもたらした：CVaRが線形計画法で最小化できることを示したのだ。VaR最小化は非凸最適化問題であり; 安定的な解法が難しく、多数の局所最小値に陥りやすく、大規模ポートフォリオでは計算コストが高いため、これは計算上の突破口となった。

対照的に、CVaR最小化は凸問題である。唯一の大域的最適解を持ち、数千のポジションを含むポートフォリオでも効率的に解くことができ、平均-リスクポートフォリオ最適化フレームワークに自然に統合される。RockafellarとUryasevは、CVaRを最小化すると同時にVaRの上界も提供されるため、CVaR最適ポートフォリオはVaRも制御されていることを実証した。

この結果はCVaR採用に対する最後の実務上の異論を取り除いた。RockafellarとUryasev以前は、CVaRが理論的に優れていたとしてもVaRの方が計算上扱いやすいと批判者は主張できた。彼らの論文以降、CVaRは理論面でも計算面でも好ましい指標となった。

VaRがなお優位性を持つ領域

理論的な欠点にもかかわらず、VaRは業界の一部で引き続き支配的な地位を占める理由となるいくつかの実務上の利点を保持している。

バックテスト。 VaRのバックテストは直截的だ。損失がVaR推定値を超えた回数を数え、その頻度が指定された信頼水準と合致するかを確認すればよい。99% VaRが1%を超える頻度で超過されれば、モデルが過小適合している。この二値検定はシンプルで直感的であり、自動化も容易だ。CVaRのバックテストは、テール損失の頻度だけでなく平均的な大きさを推定する必要があるため、より困難である。より大きなサンプルとより複雑な統計的手続きが求められる。

規制上の馴染み。 Basel IIIのトレーディング勘定の根本的見直し（FRTB）が2019年に規制資本要件を期待ショートフォール（CVaR）へ移行させたが、多くの内部リスクシステムは依然としてVaRを報告しており、移行は進行中である。数十年にわたる過去のVaRデータベースが大半の大手機関に存在し、比較やトレンド分析が容易である。

コミュニケーション。 「当社の95% VaRは1,000万ドルです」は、「当社の95% CVaRは1,500万ドルです」よりも非技術系のステークホルダーにとって理解しやすい。VaRは明確な閾値を提供するのに対し、CVaRはその閾値の超過を条件とした期待値を提供するため、解釈にはより高い統計リテラシーが必要となる。

モデルリスク。 CVaRはファーテール（極端な裾）に敏感であるため、分布の裾の推定誤差の影響をより大きく受ける。限られたデータでよく生じる裾の形状の誤推定は、CVaR推定値を大きく狂わせうる。VaRは単一の分位点にのみ依存するため、裾の誤推定に対してやや頑健である（ただし、この頑健性の代償として裾の深刻度を完全に無視している）。

規制の転換：VaRから期待ショートフォールへ

バーゼル銀行監督委員会がFRTBフレームワークにおいて期待ショートフォール（信頼水準97.5%のCVaRに対する規制上の用語）を採用したことは、Artzner et al.の理論的貢献に対する最も重要な裏付けである。規制転換の動機は、まさにこの論文が指摘したコヒーレンスの問題であった。

旧フレームワーク（Basel II/II.5）では、銀行はマーケットリスク資本に対して99% VaRを計算していた。これにより、VaR制約を満たしながらも相当な隠れたテールリスクを持つポートフォリオを構築することが可能だった; これは「VaR裁定取引」と呼ばれることもある。トレーダーは小規模で安定的なプレミアムを生み出す（VaRには見えない）ものの、稀な事象において壊滅的な損失の可能性を秘めたディープ・アウト・オブ・ザ・マネーのオプションを売ることができた。

97.5%期待ショートフォールへの切り替えは、この問題に直接対処する。ディープ・アウト・オブ・ザ・マネーのオプション売りはCVaRを劇的に増加させる。なぜなら、この指標はオプションが行使されるシナリオを含むテールの期待損失を捉えるからだ。裁定取引の機会は消滅する。

実務上の意思決定フレームワーク

VaRとCVaRの選択に迫られる実務家にとって、その判断は具体的なユースケースに依存する：

CVaRの必要性が最も強くなるのは、ポートフォリオに非線形商品（オプション、仕組み商品）が含まれている場合、リターン分布がファットテールを持つ場合（コモディティ、新興国市場、暗号資産）、またはポートフォリオが十分に複雑で劣加法性が重要となる場合（マルチデスク、マルチアセットクラスのリスク集約）である。

実務におけるVaRとCVaRの計算

両指標とも、3つの主要なアプローチで推定でき、それぞれトレードオフがある：

ヒストリカルシミュレーション。 過去のリターンをソートし、該当する分位点（VaR）またはその分位点を超えた部分の平均（CVaR）を特定する。シンプルでモデルフリーだが、過去のサンプルに制約される。サンプル期間にテールイベントが含まれていなければ、VaRもCVaRも過小評価される。

パラメトリック（分散共分散）法。 分布（通常は正規分布またはスチューデントのt分布）を仮定し、VaRとCVaRを解析的に計算する。高速でエレガントだが、分布の仮定が正しい場合にのみ有効である。正規分布の下では、95% CVaRは95% VaRの約1.28倍となる。ファットテール分布の下では、この比率は2倍以上になりうる。

モンテカルロシミュレーション。 適合されたモデルから数千の乱数シナリオを生成し、シミュレーションされた分布からVaRとCVaRを計算する。最も柔軟で (非線形商品、非正規分布、複雑な依存構造を扱えるが) 計算コストが高い。

CVaR対VaR比率が1.28に近い場合、リターン分布はおおむね正規分布であり、VaRで十分である。比率が2.0を超えて上昇すると、テールは十分にファットであり、VaRのみに依存することは危険である; VaR閾値を超えた損失は、VaRが示唆するよりもはるかに深刻である。

いずれの指標も捉えられないもの

VaRとCVaRの双方が、単一のリスク指標では克服できない重要な限界を共有している。

流動性リスク。 両指標とも、ポジションが市場価格で清算できることを前提としている。危機時にはビッド・アスク・スプレッドが拡大し、市場の厚みが蒸発し、実際の清算額はモデル価格が示すよりもはるかに悪くなりうる。流動性調整VaRとCVaRの変種は存在するが、モデルの複雑性が大幅に増す。

相関の崩壊。 両指標とも、マルチアセットポートフォリオのモデル化に推定相関またはコピュラに依存している。危機時には相関が1.0に向かって急上昇し、分散投資の効果が最も必要とされるまさにその時に減少する。VaRもCVaRも、このレジーム依存的な相関の振る舞いを本質的には反映しない。

モデルリスク。 あらゆるリスク指標は、その背後にあるモデルの精度に依存する。誤った分布の特定、不正確な相関構造、または不十分なデータは、VaRとCVaRの双方が真のリスクを過小評価する原因となりうる。CVaRはテールの誤推定に対してより敏感であり、VaRは信頼水準の選択に対してより敏感である。

適切な対応は、一方の指標を他方より選ぶことではなく、ストレステスト、シナリオ分析、定性的判断と併せて両方を使用することである。定量的リスク指標は、テール損失を生み出す経済的メカニズムの理解を代替するものではない。

現時点でのエビデンス

Artzner et al. (1999)は、VaRがコヒーレントなリスク指標ではないこと、そして劣加法性の欠如がリスク管理を誤らせうることを確立した。RockafellarとUryasev (2000)は、CVaRが効率的に最適化できることを示し、採用に向けた計算上の障壁を取り除いた。これら2つの論文は、学術的思考と規制実務の双方を期待ショートフォールの方向へ転換させた。

実務的な現実としては、両指標とも依然として不可欠である。VaRは計算、バックテスト、コミュニケーションが容易な、シンプルで広く理解された閾値を提供する。CVaRはVaRが見逃すものを捉えるテール認識型の補完指標を提供する。両者の選択は、抽象的にどちらが「優れているか」よりも、具体的なポートフォリオ、商品の複雑さ、意思決定の文脈に大きく依存する。

個人投資家にとって、この区別は非線形のペイオフを持つ商品 (オプション戦略、仕組債、レバレッジETF) を評価する際に最も重要となる。こうした商品では、VaRが稀だが深刻な損失のリスクを劇的に過小評価しうる。機関のリスク管理者にとっては、FRTB後の規制環境が期待ショートフォールを主要なリスク指標とする方向でおおむね議論を決着させており、VaRはバックテストと過去の比較のために維持されている。