VaR vs. CVaR: 실제로 어떤 리스크 측정법을 사용해야 하는가?

최악의 결과를 무시하는 리스크 측정법

1999년, 네 명의 수학자 (Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, David Heath) 가 금융업계의 리스크 측정 방식을 근본적으로 바꾼 논문을 발표했습니다. Mathematical Finance에 게재된 "Coherent Measures of Risk"에서 그들이 제시한 논지는 놀라울 정도로 단순했습니다. 세계에서 가장 널리 사용되는 리스크 측정법인 VaR(Value at Risk)에는 리스크 관리자를 적극적으로 오도할 수 있는 수학적 결함이 있다는 것입니다. 그들이 대안으로 제시한 CVaR(Conditional Value at Risk, 기대 손실(Expected Shortfall)이라고도 합니다)은 이후 은행 규제, 포트폴리오 최적화, 기관 리스크 관리의 핵심으로 자리 잡았습니다.

VaR과 CVaR의 차이를 이해하는 것은 단순한 학문적 문제가 아닙니다. 이 차이는 기관이 포지션 규모를 결정하고, 자본 적립금을 설정하며, 무엇보다 가장 중요한 손실인 포트폴리오를 파괴할 수 있는 꼬리 사건(tail event)을 과소평가하는지 여부를 결정합니다.

VaR이 알려주는 것 (그리고 숨기는 것)

VaR은 구체적인 질문에 답합니다. "주어진 신뢰 수준에서 주어진 기간 동안 예상할 수 있는 최대 손실은 얼마인가?" 95% 일일 VaR이 100만 달러라는 것은, 거래일의 95%에서 포트폴리오 손실이 100만 달러를 초과하지 않는다는 뜻입니다. 동일하게, 거래일의 5% (대략 한 달에 한 번) 에서는 손실이 100만 달러를 넘는다는 것입니다.

VaR은 1990년대에 J.P. Morgan의 RiskMetrics 시스템을 통해 리스크 측정의 업계 표준이 되었습니다. 그 매력은 명확성에 있었습니다. 전체 포트폴리오의 리스크를 하나의 숫자로 요약할 수 있었습니다. 규제 당국이 이를 채택했고, 이사회 구성원도 이해할 수 있었으며, 리스크 관리자는 복잡한 다중 자산 포트폴리오에 대해서도 이를 계산할 수 있었습니다.

그러나 VaR에는 치명적인 맹점이 있습니다. 임계값을 넘어서면 무슨 일이 일어나는지에 대해서는 아무것도 알려주지 않습니다. 95% VaR이 100만 달러라면, 거래일의 5%에서 손실이 이 금액을 초과한다는 것은 알 수 있습니다. 하지만 그 5%에 해당하는 날의 손실이 110만 달러일 수도, 5,000만 달러일 수도 있으며; VaR은 이 두 시나리오를 구별하지 못합니다. VaR은 꼬리(tail)로 들어가는 문이 어디에 있는지는 알려주지만, 그 뒤에 있는 방이 얼마나 깊은지는 알려주지 않습니다.

이 맹점은 단지 이론적인 것이 아닙니다. 2008년 금융 위기 당시, 많은 기관의 리스크 시스템이 편안한 VaR 수치를 보고하고 있었지만, 실제 꼬리 손실은 이보다 수십 배 더 컸습니다. VaR 모델은 "나쁜 날에 X만큼 잃을 수 있습니다"라고 말했지만, 실제 나쁜 날의 손실은 5X 또는 10X에 달했습니다.

정합성(Coherence) 문제

Artzner et al. (1999)은 "정합적" 리스크 측정법이 만족해야 할 네 가지 속성을 정의함으로써 이 문제를 형식화했습니다.

1. 이동 불변성(Translation invariance). 포트폴리오에 무위험 자산을 추가하면, 측정된 리스크가 해당 자산 금액만큼 감소해야 합니다. 100만 달러의 현금을 추가하면, 리스크도 100만 달러 감소해야 합니다.

2. 하위 가법성(Subadditivity). 결합된 포트폴리오의 리스크는 각 부분 리스크의 합보다 크지 않아야 합니다. 이것이 분산투자 원리입니다; 포지션을 결합하면 리스크가 증가해서는 안 됩니다. 수학적으로: ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y).

3. 양의 동차성(Positive homogeneity). 포지션을 두 배로 늘리면 리스크도 두 배가 되어야 합니다.

4. 단조성(Monotonicity). 포트폴리오 X가 항상 포트폴리오 Y 이상의 수익을 내면, X의 리스크는 Y와 같거나 낮아야 합니다.

VaR은 이 네 가지 속성 중 세 가지를 만족하지만 하위 가법성은 충족하지 못합니다. 이 실패는 수학적 호기심에 그치지 않으며, 실질적인 결과를 초래합니다. 두 명의 트레이더가 각각 집중 포지션을 보유하고 있다고 가정하겠습니다. 트레이더 A의 95% VaR이 100만 달러입니다. 트레이더 B의 95% VaR이 100만 달러입니다. 회사가 두 장부를 합치면, 결합된 95% VaR이 200만 달러 (각 부분의 합) 를 초과할 수 있습니다. 리스크 관리의 가장 기본적인 원칙인 분산투자가 VaR 하에서는 오히려 리스크를 증가시키는 것처럼 보일 수 있습니다.

이는 VaR이 단일 분위수만을 보기 때문에 발생합니다. 두 포트폴리오를 합치면 VaR 임계값 너머의 손실 분포 형태가 변하여, 전체 분포의 꼬리가 더 얇아지더라도 임계값 자체가 바깥쪽으로 밀려날 수 있습니다. 이 측정법은 분포의 형태에 대해 "맹목적"이며 단일 절단점만 보고합니다.

CVaR: VaR 너머의 리스크

CVaR(기대 손실(Expected Shortfall) 또는 조건부 꼬리 기대값(Conditional Tail Expectation)이라고도 합니다)은 다른 질문을 던집니다. "손실이 VaR 임계값을 초과한다고 할 때, 예상 손실은 얼마입니까?" 95% VaR이 100만 달러라면, 95% CVaR은 최악의 5% 거래일의 평균 손실입니다.

CVaR은 하위 가법성을 포함하여 네 가지 정합성 공리를 모두 만족합니다. 두 포트폴리오를 합쳐도 개별 CVaR의 합을 초과하는 CVaR이 나오지 않습니다. 분산투자는 CVaR 하에서 항상 작동합니다.

더 중요한 것은, CVaR이 꼬리 손실의 빈도뿐만 아니라 그 심각성까지 포착한다는 점입니다. 두 포트폴리오가 동일한 VaR을 가지면서도 CVaR은 크게 다를 수 있습니다.

포트폴리오 B는 포트폴리오 A와 동일한 VaR을 가지지만 CVaR은 세 배 이상입니다. VaR만 사용하는 리스크 관리자는 이 두 포트폴리오를 동등한 리스크로 취급할 것입니다. CVaR을 사용하는 리스크 관리자는 포트폴리오 B가 상당히 더 큰 꼬리 리스크를 내포하고 있음을 즉시 파악할 것입니다.

최적화의 돌파구

Rockafellar and Uryasev (2000)은 두 번째 핵심적 진전을 이루었습니다. CVaR이 선형 계획법으로 최소화될 수 있음을 보였습니다. 이는 계산적 돌파구였는데, VaR 최소화는 비볼록 최적화 문제로서 안정적으로 풀기 어렵고, 다수의 국소 최솟값에 빠지기 쉬우며, 대규모 포트폴리오에서는 계산 비용이 높기 때문입니다.

반면에 CVaR 최소화는 볼록 문제입니다. 유일한 전역 최적해를 가지며, 수천 개의 포지션이 있는 포트폴리오에서도 효율적으로 풀 수 있고, 평균-리스크 포트폴리오 최적화 프레임워크에 자연스럽게 통합됩니다. Rockafellar와 Uryasev는 CVaR을 최소화하면 동시에 VaR에 대한 한계도 제공되므로, CVaR 최적 포트폴리오가 VaR도 통제됨을 보였습니다.

이 결과는 CVaR 채택에 대한 마지막 실질적 반론을 제거했습니다. Rockafellar와 Uryasev 이전에, 비평가들은 CVaR이 이론적으로 우월하더라도 VaR이 계산적으로 더 다루기 쉽다고 주장할 수 있었습니다. 그들의 논문 이후, CVaR은 이론적으로나 계산적으로 모두 선호되는 측정법이 되었습니다.

VaR이 여전히 우위를 가지는 영역

이론적 한계에도 불구하고, VaR은 업계 일부에서 지속적으로 우세한 위치를 유지하는 데 기여하는 몇 가지 실질적 장점을 보유하고 있습니다.

백테스팅. VaR은 백테스트가 간단합니다. 손실이 VaR 추정치를 초과하는 횟수를 세고, 이 빈도가 지정된 신뢰 수준에 부합하는지 확인하면 됩니다. 99% VaR이 1%보다 많은 빈도로 초과되면, 모델이 과소적합된 것입니다. 이 이진 검정은 단순하고 직관적이며 자동화가 쉽습니다. CVaR 백테스팅은 꼬리 손실의 빈도뿐만 아니라 평균 크기를 추정해야 하므로 더 어렵습니다. 더 큰 표본과 더 복잡한 통계 절차가 필요합니다.

규제 친숙성. Basel III의 트레이딩 장부 근본적 재검토(FRTB)가 2019년 규제 자본 요건을 기대 손실(CVaR)로 전환했지만, 많은 내부 리스크 시스템은 여전히 VaR을 보고하며, 전환은 진행 중입니다. 수십 년에 걸친 과거 VaR 데이터베이스가 대부분의 대형 기관에 존재하여, 비교와 추세 분석이 용이합니다.

커뮤니케이션. "우리의 95% VaR은 1,000만 달러입니다"는 "우리의 95% CVaR은 1,500만 달러입니다"보다 비전문 이해관계자가 이해하기 쉽습니다. VaR은 명확한 임계값을 제공하고, CVaR은 해당 임계값 초과를 조건으로 한 기대값을 제공하므로 해석에 더 많은 통계적 소양이 필요합니다.

모델 리스크. CVaR은 극단 꼬리에 민감하기 때문에 분포 꼬리의 추정 오차에 더 크게 영향을 받습니다. 제한된 데이터로 인해 흔히 발생하는 꼬리 형태 오추정 시, CVaR 추정치가 크게 틀릴 수 있습니다. VaR은 단일 분위수에만 의존하므로 꼬리 오추정에 다소 더 강건합니다(비록 이 강건성의 대가로 꼬리 심각도를 완전히 무시하지만).

규제의 전환: VaR에서 기대 손실로

바젤 은행감독위원회가 FRTB 프레임워크에서 기대 손실(97.5% 신뢰 수준의 CVaR에 대한 규제 용어)을 채택한 것은 Artzner et al.의 이론적 기여에 대한 가장 의미 있는 검증입니다. 규제 전환의 동기는 정확히 이 논문이 지적한 정합성 문제였습니다.

기존 프레임워크(Basel II/II.5) 하에서 은행들은 시장 리스크 자본에 대해 99% VaR을 계산했습니다. 이로 인해 기관들은 VaR 제약을 만족하면서도 상당한 숨겨진 꼬리 리스크를 내포한 포트폴리오를 구성할 수 있었습니다; 이를 때때로 "VaR 차익거래"라 부릅니다. 트레이더는 소규모의 안정적인 프리미엄을 생성하지만(VaR에는 보이지 않음) 드문 사건에서 재앙적 손실 가능성을 지닌 깊은 외가격 옵션을 매도할 수 있었습니다.

97.5% 기대 손실로의 전환은 이 문제를 직접 해결합니다. 깊은 외가격 옵션 매도는 CVaR을 급격히 증가시키는데, 이는 해당 측정법이 옵션이 행사되는 시나리오를 포함한 꼬리의 기대 손실을 포착하기 때문입니다. 차익거래 기회는 사라집니다.

실무적 의사결정 프레임워크

VaR과 CVaR 중 선택해야 하는 실무자에게, 그 결정은 구체적인 사용 사례에 달려 있습니다.

CVaR의 필요성이 가장 강하게 대두되는 경우는 포트폴리오에 비선형 상품(옵션, 구조화 상품)이 포함되어 있거나, 수익률 분포의 꼬리가 두꺼운 경우(원자재, 신흥 시장, 암호화폐), 또는 포트폴리오가 충분히 복잡하여 하위 가법성이 중요한 경우(다중 데스크, 다중 자산군 리스크 집계)입니다.

실무에서의 VaR과 CVaR 계산

두 측정법 모두 세 가지 주요 접근법으로 추정할 수 있으며, 각각 장단점이 있습니다.

역사적 시뮬레이션. 과거 수익률을 정렬하여, 해당 분위수(VaR)를 식별하거나 해당 분위수 이후의 평균(CVaR)을 구합니다. 단순하고 모델에 의존하지 않지만, 과거 표본에 의해 제한됩니다. 표본 기간에 꼬리 사건이 포함되지 않으면, VaR과 CVaR 모두 과소추정됩니다.

모수적(분산-공분산) 방법. 분포(일반적으로 정규 분포 또는 스튜던트 t 분포)를 가정하고, VaR과 CVaR을 분석적으로 계산합니다. 빠르고 우아하지만, 분포 가정만큼만 정확합니다. 정규 분포 하에서 95% CVaR은 95% VaR의 약 1.28배입니다. 두꺼운 꼬리 분포 하에서는 이 비율이 2배 이상이 될 수 있습니다.

몬테카를로 시뮬레이션. 적합된 모델에서 수천 개의 무작위 시나리오를 생성한 후, 시뮬레이션된 분포에서 VaR과 CVaR을 계산합니다. 가장 유연하여 비선형 상품, 비정규 분포, 복잡한 의존 구조를 처리할 수 있지만, 계산 비용이 높습니다.

CVaR 대 VaR 비율이 1.28에 가까우면, 수익률 분포가 대략 정규 분포이며 VaR로 충분합니다. 비율이 2.0 이상으로 올라가면, 꼬리가 충분히 두꺼워서 VaR만으로는 위험합니다; VaR 임계값 너머의 손실이 VaR이 시사하는 것보다 훨씬 심각합니다.

두 측정법 모두 포착하지 못하는 것

VaR과 CVaR 모두 단일 리스크 측정법으로는 극복할 수 없는 중요한 한계를 공유합니다.

유동성 리스크. 두 측정법 모두 포지션이 시장 가격에 청산될 수 있다고 가정합니다. 위기 시에는 매수-매도 스프레드가 확대되고, 시장 심도가 증발하며, 실제 청산 수익은 모델 가격이 시사하는 것보다 훨씬 나쁠 수 있습니다. 유동성 조정 VaR과 CVaR 변형이 존재하지만, 모델 복잡성이 상당히 증가합니다.

상관관계 붕괴. 두 측정법 모두 다중 자산 포트폴리오를 모델링하기 위해 추정된 상관관계 또는 코퓰러에 의존합니다. 위기 시 상관관계는 1.0을 향해 급등하여, 분산투자 효과가 가장 필요한 바로 그 시점에 감소합니다. VaR과 CVaR 어느 것도 이런 국면 의존적 상관관계 행태를 본질적으로 반영하지 않습니다.

모델 리스크. 모든 리스크 측정법은 그 뒤에 있는 모델만큼만 정확합니다. 잘못 지정된 분포, 부정확한 상관관계 구조, 또는 불충분한 데이터는 VaR과 CVaR 모두를 실제 리스크보다 과소평가하게 만들 수 있습니다. CVaR은 꼬리 오추정에 더 민감하고, VaR은 신뢰 수준 선택에 더 민감합니다.

적절한 대응은 하나의 측정법을 다른 것보다 선택하는 것이 아니라, 스트레스 테스트, 시나리오 분석, 정성적 판단과 함께 둘 다 사용하는 것입니다. 어떤 정량적 리스크 측정법도 꼬리 손실을 발생시키는 경제적 메커니즘에 대한 이해를 대체할 수 없습니다.

현재까지의 근거

Artzner et al. (1999)은 VaR이 정합적 리스크 측정법이 아니며, 하위 가법성의 실패가 리스크 관리를 오도할 수 있음을 확립했습니다. Rockafellar와 Uryasev (2000)는 CVaR이 효율적으로 최적화될 수 있음을 보여, 채택의 계산적 장벽을 제거했습니다. 이 두 논문은 학술적 사고와 규제 실무 모두를 기대 손실 방향으로 전환시켰습니다.

실무적 현실은 두 측정법 모두 여전히 필수적이라는 것입니다. VaR은 계산, 백테스트, 커뮤니케이션이 쉬운 단순하고 잘 이해된 임계값을 제공합니다. CVaR은 VaR이 놓치는 것을 포착하는 꼬리 인식 보완재를 제공합니다. 둘 사이의 선택은 추상적으로 어느 것이 "더 나은지"보다는, 구체적인 포트폴리오, 상품 복잡성, 의사결정 맥락에 더 많이 좌우됩니다.

개인 투자자에게 이 구분은 비선형 수익 구조를 가진 상품 (옵션 전략, 구조화 채권, 레버리지 ETF) 을 평가할 때 가장 중요합니다. 이런 상품에서 VaR은 드물지만 심각한 손실의 리스크를 극적으로 과소평가할 수 있습니다. 기관 리스크 관리자에게, FRTB 이후 규제 환경은 기대 손실을 주요 리스크 측정법으로 삼는 방향으로 대체로 논쟁을 정리했으며, VaR은 백테스팅과 과거 비교를 위해 유지되고 있습니다.