VaR vs. CVaR：你究竟該使用哪種風險度量？

忽略最壞結果的風險衡量方法

1999年，四位數學家——Philippe Artzner、Freddy Delbaen、Jean-Marc Eber 和 David Heath——發表了一篇從根本上改變金融業風險衡量思維的論文。他們在《Mathematical Finance》期刊上發表的〈Coherent Measures of Risk〉中提出了一個看似簡單卻意義深遠的論點：全球最廣泛使用的風險衡量指標——風險值（VaR）——存在一個數學缺陷，可能會積極誤導風險管理人員。他們提出的替代指標——條件風險值（CVaR，又稱預期短缺），此後已成為銀行監管、投資組合優化和機構風險管理的核心工具。

理解 VaR 和 CVaR 之間的差異絕非純粹的學術探討。它決定了機構如何調整部位規模、設定資本準備金，以及——最關鍵的——是否低估了最重要的損失：那些可能摧毀整個投資組合的尾部事件。

VaR 告訴你什麼（以及它隱藏了什麼）

風險值回答的是一個具體問題：「在給定的信心水準和時間範圍內，我可以預期的最大損失是多少？」95% 的日 VaR 為 100 萬美元，意味著在 95% 的交易日中，投資組合的損失不會超過 100 萬美元。換言之，在 5% 的交易日——大約每月一次——損失將超過 100 萬美元。

VaR 在 1990 年代成為風險衡量的行業標準，這在很大程度上歸功於摩根大通的 RiskMetrics 系統。它的吸引力在於簡潔明瞭：用一個數字就能概括整個投資組合的風險。監管機構採用了它，董事會成員能理解它，而風險管理人員可以為複雜的多資產投資組合計算它。

但 VaR 有一個關鍵的盲點。它對超過門檻值後發生的事情毫無說明。如果你的 95% VaR 是 100 萬美元，你知道 5% 的時間損失會超過這個金額。但那 5% 的日子裡，損失可能是 110 萬美元，也可能是 5000 萬美元——VaR 無法區分這些情境。它告訴你尾部風險大門在哪裡，但不告訴你門後的空間有多深。

這個盲點不僅僅是理論上的問題。在 2008 年金融危機期間，許多機構的風險系統報告著令人安心的 VaR 數字，然而實際的尾部損失卻大了好幾個數量級。他們的 VaR 模型說「在壞日子裡你可能損失 X 美元」，而實際的壞日子帶來的損失卻是 5X 甚至 10X。

一致性問題

Artzner et al. (1999) 透過定義任何「一致性」風險衡量指標應滿足的四個性質，將問題形式化：

1. 平移不變性。 在投資組合中加入無風險資產，應使衡量的風險減少該資產的金額。如果你增加 100 萬美元現金，風險應下降 100 萬美元。

2. 次可加性。 合併投資組合的風險不應大於各部分風險之和。這是分散化原則——合併部位不應增加風險。數學表示為：ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)。

3. 正齊次性。 部位加倍，風險也應加倍。

4. 單調性。 如果投資組合 X 的報酬始終不低於投資組合 Y，那麼 X 的風險應等於或低於 Y。

VaR 滿足其中三個性質，但在次可加性上失敗。這個失敗不是數學上的奇事——它具有實際後果。考慮兩位交易員，各自持有一個集中部位。交易員 A 的 95% VaR 為 100 萬美元。交易員 B 的 95% VaR 也是 100 萬美元。如果公司合併這兩本帳簿，合併後的 95% VaR 可能超過 200 萬美元——超過各部分之和。在 VaR 的衡量下，分散化——風險管理中最基本的原則——竟然可能出現風險增加的情形。

這種情況的發生是因為 VaR 只關注單一分位數。合併兩個投資組合可能改變 VaR 門檻之外損失分佈的形狀，即使整體分佈的尾部更薄，也可能將門檻本身向外推移。這個衡量指標對分佈的形狀「視而不見」，只報告一個截斷點。

CVaR：VaR 之外的風險

CVaR（也稱為預期短缺或條件尾部期望值）提出了一個不同的問題：「假如損失超過了 VaR 門檻，預期損失是多少？」如果 95% VaR 為 100 萬美元，95% CVaR 就是最差 5% 交易日中所有損失的平均值。

CVaR 滿足全部四個一致性公理，包括次可加性。合併兩個投資組合所產生的 CVaR 永遠不會超過各自 CVaR 之和。在 CVaR 下，分散化始終有效。

更重要的是，CVaR 捕捉的是尾部損失的嚴重程度，而不僅僅是其頻率。兩個投資組合可以有相同的 VaR，但 CVaR 卻大相徑庭：

投資組合 B 與投資組合 A 的 VaR 相同，但 CVaR 超過三倍。只使用 VaR 的風險管理人員會認為這兩個投資組合的風險相等。使用 CVaR 的風險管理人員則會立即標記投資組合 B 承擔了大幅更高的尾部風險。

優化的突破

Rockafellar and Uryasev (2000) 做出了第二個關鍵貢獻：他們證明 CVaR 可以使用線性規劃來最小化。這是一個計算上的突破，因為 VaR 最小化是一個非凸優化問題——難以可靠地求解、容易陷入多個局部最小值，且對大型投資組合而言計算成本昂貴。

相比之下，CVaR 最小化是一個凸問題。它有唯一的全域最優解，即使對擁有數千個部位的投資組合也能高效求解，並且能自然地融入均值-風險投資組合優化框架。Rockafellar 和 Uryasev 證明，最小化 CVaR 同時也為 VaR 提供了上界，因此 CVaR 最優投資組合也是 VaR 受控的。

這個結果消除了採用 CVaR 的最後一個實際反對意見。在 Rockafellar 和 Uryasev 之前，批評者可以辯稱即使 CVaR 在理論上更優越，VaR 在計算上更容易使用。在他們的論文發表之後，CVaR 在理論和計算上都成為首選。

VaR 仍具優勢之處

儘管 VaR 在理論上存在不足，它仍保有幾項實際優勢，這解釋了它在業界部分領域中持續佔主導地位的原因。

回測。 VaR 的回測非常直觀：計算損失超過 VaR 估計值的次數，檢查該頻率是否與指定的信心水準相符。如果 99% VaR 被超過的頻率大於 1%，表示模型擬合不足。這種二元檢驗簡單、直觀且易於自動化。CVaR 的回測則更為困難，因為它需要估計尾部損失的平均幅度，而不僅僅是其頻率。這需要更大的樣本和更複雜的統計程序。

監管熟悉度。 雖然《巴塞爾協議 III》的交易帳簿基本審查（FRTB）已於 2019 年將監管資本要求轉向預期短缺（CVaR），但許多內部風險系統仍在報告 VaR，過渡仍在進行中。大多數大型機構擁有跨越數十年的歷史 VaR 資料庫，使得比較和趨勢分析非常方便。

溝通。 「我們的 95% VaR 是 1000 萬美元」比「我們的 95% CVaR 是 1500 萬美元」更容易讓非技術利害關係人理解。VaR 提供了一個清晰的門檻值；CVaR 提供的是在超過該門檻條件下的期望值，需要更多的統計素養來解讀。

模型風險。 CVaR 對遠尾端的敏感性意味著它更容易受到分佈尾部估計誤差的影響。如果你對尾部形狀的估計有誤——這在數據有限的情況下是常見問題——你的 CVaR 估計值可能會有顯著偏差。VaR 由於只依賴單一分位數，對尾部估計誤差具有較強的穩健性（儘管它為此付出了完全忽略尾部嚴重程度的代價）。

監管轉變：從 VaR 到預期短缺

巴塞爾銀行監理委員會在 FRTB 框架中採用預期短缺（即 97.5% 信心水準下 CVaR 的監管術語），是對 Artzner 等人理論貢獻的最重大肯定。這一監管轉變的動因正是該論文所指出的一致性問題。

在舊框架（巴塞爾 II/II.5）下，銀行以 99% VaR 計算市場風險資本。這使得機構可以構建滿足 VaR 限制但隱藏大量尾部風險的投資組合——這種做法有時被稱為「VaR 套利」。交易員可以賣出深度價外期權，賺取小額且穩定的權利金（VaR 看不到），但在罕見事件中承擔災難性的損失潛力。

轉向 97.5% 預期短缺直接解決了這個問題。賣出深度價外期權會大幅提高 CVaR，因為該指標捕捉了尾部的預期損失，包括那些期權被行使的情境。套利機會因此消失。

實務決策框架

對於在 VaR 和 CVaR 之間做選擇的實務工作者而言，決定取決於具體的使用情境：

CVaR 最具說服力的使用情境出現在投資組合包含非線性工具（期權、結構化產品）、報酬分佈具有厚尾特性（大宗商品、新興市場、加密貨幣），或投資組合足夠複雜以致次可加性至關重要時（多部門、多資產類別風險匯總）。

實務中計算 VaR 和 CVaR

這兩種指標都可以使用三種主要方法來估計，各有其取捨：

歷史模擬法。 將過去的報酬排序，找出相應的分位數（VaR）或超過該分位數的平均值（CVaR）。方法簡單且無需模型假設，但受限於歷史樣本。如果樣本期間不包含尾部事件，VaR 和 CVaR 都會被低估。

參數法（變異數-共變異數法）。 假設一個分佈（通常為常態分佈或 Student-t 分佈），然後以解析方式計算 VaR 和 CVaR。快速且優雅，但其品質取決於分佈假設。在常態分佈下，95% CVaR 約為 95% VaR 的 1.28 倍。在厚尾分佈下，此比率可達 2 倍或更高。

蒙地卡羅模擬法。 從擬合模型中生成數千個隨機情境，然後從模擬分佈中計算 VaR 和 CVaR。最為靈活——可處理非線性工具、非常態分佈和複雜的相依結構——但計算成本昂貴。

當 CVaR 與 VaR 的比率接近 1.28 時，報酬分佈近似常態，VaR 便已足夠。當比率上升超過 2.0 時，尾部已經足夠厚重，僅依賴 VaR 是危險的——超過 VaR 門檻的損失遠比 VaR 所暗示的嚴重得多。

兩種指標都無法捕捉的風險

VaR 和 CVaR 共同存在重要的局限性，這些是任何單一風險衡量指標都無法克服的。

流動性風險。 兩種指標都假設部位可以按市場價格平倉。在危機期間，買賣價差擴大、市場深度蒸發，實際的平倉收入可能遠低於模型價格所顯示的水準。流動性調整後的 VaR 和 CVaR 變體雖然存在，但會大幅增加模型複雜度。

相關性崩潰。 兩種指標都依賴估計的相關性或 copula 來建模多資產投資組合。在危機期間，相關性急劇上升趨近 1.0，恰好在最需要分散化效益時削弱了這些效益。VaR 和 CVaR 都不能固有地反映這種隨機制轉換的相關性行為。

模型風險。 任何風險衡量指標的品質都取決於其背後的模型。錯誤的分佈設定、不正確的相關性結構或不充分的數據都可能導致 VaR 和 CVaR 低估真實風險。CVaR 對尾部估計誤差更為敏感；VaR 對信心水準的選擇更為敏感。

適當的做法不是在兩種指標之間二擇一，而是將兩者與壓力測試、情境分析和定性判斷結合使用。沒有任何量化風險指標可以取代對產生尾部損失的經濟機制的理解。

現有證據的總結

Artzner et al. (1999) 確立了 VaR 不是一致性風險衡量指標，其次可加性的失敗可能誤導風險管理。Rockafellar and Uryasev (2000) 證明 CVaR 可以被高效優化，消除了採用的計算障礙。這兩篇論文共同推動了學術思維和監管實務向預期短缺的轉變。

實際情況是，兩種指標仍然不可或缺。VaR 提供了一個簡單、易於理解的門檻，容易計算、回測和溝通。CVaR 提供了對尾部風險的敏感補充，捕捉 VaR 所遺漏的部分。選擇哪一種，較少取決於哪個在抽象意義上「更好」，而更多取決於具體的投資組合、工具複雜度和決策情境。

對於散戶投資者而言，這個區別在評估具有非線性損益的產品時最為重要——期權策略、結構化票據、槓桿型 ETF——在這些產品中，VaR 可能大幅低估罕見但嚴重損失的風險。對於機構風險管理人員而言，FRTB 後的監管環境已大致確定了預期短缺作為主要風險衡量指標的地位，VaR 則被保留用於回測和歷史比較。