जब मोंटे कार्लो विफल होता है: सेवानिवृत्ति सिमुलेशन के छिपे खतरे
मोंटे कार्लो सिमुलेशन सेवानिवृत्ति योजना का डिफ़ॉल्ट उपकरण बन गया है। वित्तीय सलाहकार, रोबो-एडवाइज़र और संस्थागत पेंशन मॉडल सभी व्यक्तिगत वित्त के सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देने के लिए इस पर निर्भर हैं: क्या मेरा पैसा चलेगा? सामान्य आउटपुट आश्वस्त करने वाला होता है: 10,000 सिमुलेटेड पथों के अधिकार के साथ प्रस्तुत 85% या 90% की सफलता संभावना। लेकिन उस संख्या के पीछे धारणाओं का एक सेट छिपा है जो विफल होने पर सिमुलेशन की भविष्यवाणी से कहीं बदतर परिणाम उत्पन्न करता है।
समस्या यह नहीं है कि मोंटे कार्लो सिमुलेशन सिद्धांत रूप में गलत है। समस्या यह है कि अधिकांश योजना उपकरणों द्वारा उपयोग किया जाने वाला मानक कार्यान्वयन पांच महत्वपूर्ण धारणाएं बनाता है जो वास्तविक वित्तीय बाजारों के लिए स्पष्ट रूप से गलत हैं। ये धारणाएं छोटी त्रुटियां उत्पन्न नहीं करतीं। ये व्यवस्थित रूप से टेल रिस्क को कम आंकती हैं, जो उन सेवानिवृत्त लोगों के लिए सबसे महत्वपूर्ण जोखिम है जो समाप्त हो चुके पोर्टफोलियो से उबर नहीं सकते।
यह लेख प्रत्येक धारणा की जांच करता है, सेवानिवृत्ति अनुमानों पर इसके प्रभाव को मात्रात्मक रूप से दर्शाता है, और पिछले दो दशकों में शोधकर्ताओं द्वारा विकसित पद्धतिगत सुधारों को प्रस्तुत करता है।
धारणा 1: रिटर्न स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं (i.i.d.)
मानक मोंटे कार्लो इंजन एक निश्चित वितरण से प्रत्येक वर्ष का रिटर्न स्वतंत्र रूप से निकालता है, जो आमतौर पर ऐतिहासिक माध्य और विचरण से अंशांकित सामान्य वितरण होता है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक सिमुलेटेड वर्ष में पिछले वर्ष की कोई स्मृति नहीं होती। एक गिरावट वाले वर्ष के बाद एक और गिरावट आने की संभावना उतनी ही होती है जितनी तेजी आने की।
वास्तविक बाजार इससे बिल्कुल अलग व्यवहार करते हैं। Mandelbrot और Hudson (2004) ने प्रलेखित किया कि वित्तीय रिटर्न अस्थिरता क्लस्टरिंग प्रदर्शित करते हैं: बड़ी चालें बड़ी चालों के बाद आती हैं, और शांत अवधि शांत अवधि के बाद आती है। यह GARCH मॉडल द्वारा पकड़ी गई अनुभवजन्य नियमितता है और लगभग हर परिसंपत्ति वर्ग और अध्ययन अवधि में इसकी पुष्टि हुई है।
i.i.d. धारणा विभिन्न निवेश क्षितिजों पर अच्छी तरह से प्रलेखित दो विशेषताओं, माध्य प्रत्यावर्तन और गति, को भी अनदेखा करती है। अल्पकालिक (एक से बारह महीने) रिटर्न सकारात्मक स्व-सहसंबंध (गति) प्रदर्शित करते हैं। दीर्घकालिक (तीन से सात वर्ष) रिटर्न माध्य प्रत्यावर्तन की प्रवृत्ति रखते हैं, विशेष रूप से चरम प्रारंभिक मूल्यांकन से मापने पर।
सेवानिवृत्ति योजना के लिए i.i.d. धारणा विशेष रूप से खतरनाक है क्योंकि यह लंबे समय तक गिरावट की संभावना को कम आंकती है। i.i.d. सामान्य रिटर्न के साथ एक मानक मोंटे कार्लो सिमुलेशन कभी-कभी दो या तीन लगातार बुरे वर्ष उत्पन्न करता है। लेकिन यह लगभग कभी भी उस प्रकार की दशक-लंबी वास्तविक-रिटर्न सूखे को उत्पन्न नहीं करता जो 1966-1982 अवधि के सेवानिवृत्त लोगों ने वास्तव में अनुभव किया, जब S&P 500 ने 16 वर्षों में लगभग -0.4% का वार्षिक वास्तविक रिटर्न दिया।
धारणा 2: रिटर्न का सामान्य वितरण
भले ही i.i.d. धारणा सही हो, सामान्य वितरण स्वयं वित्तीय रिटर्न के लिए अनुपयुक्त है। वास्तविक रिटर्न फैट टेल प्रदर्शित करते हैं: चरम घटनाएं गॉसियन मॉडल की भविष्यवाणी से कहीं अधिक बार घटित होती हैं। अक्टूबर 1987 में जब S&P 500 एक दिन में 20.5% गिरा, यह सामान्य वितरण धारणाओं के तहत लगभग 20-सिग्मा घटना थी, एक ऐसी घटना जिसकी संभावना इतनी कम है कि यह ब्रह्मांड के जीवनकाल में भी नहीं घटनी चाहिए।
Lo (2002) ने प्रदर्शित किया कि वितरण धारणाओं का शार्प अनुपात जैसे जोखिम मेट्रिक्स पर प्रथम-क्रम प्रभाव पड़ता है, और विस्तार से, उन मेट्रिक्स पर निर्भर किसी भी मोंटे कार्लो विश्लेषण पर भी। जब रिटर्न सामान्य वितरण के बजाय पांच स्वतंत्रता की डिग्री वाले स्टूडेंट t-वितरण का अनुसरण करते हैं, तो चरम नकारात्मक परिणामों की संभावना काफी बढ़ जाती है।
| निकासी दर | सामान्य MC विफलता दर | फैट-टेल्ड MC विफलता दर | अंतर |
|---|---|---|---|
| 3.0% | 2% | 5% | +3 pp |
| 3.5% | 5% | 11% | +6 pp |
| 4.0% | 11% | 22% | +11 pp |
| 4.5% | 19% | 34% | +15 pp |
| 5.0% | 30% | 48% | +18 pp |
उपरोक्त तालिका 60/40 पोर्टफोलियो के 30-वर्षीय सेवानिवृत्ति सिमुलेशन में सामान्य वितरण से स्टूडेंट t-वितरण (5 स्वतंत्रता की डिग्री) में स्विच करने के प्रभाव को दर्शाती है। आमतौर पर उद्धृत 4% निकासी दर पर, विफलता दर 11% से लगभग दोगुनी होकर 22% हो जाती है। अंतर उच्च निकासी दरों पर और अधिक बढ़ता है, जो ठीक वह क्षेत्र है जहां सेवानिवृत्त लोग सबसे अधिक असुरक्षित होते हैं।
Pfau (2010) ने दिखाया कि सामान्य वितरण का उपयोग करने वाले मोंटे कार्लो सिमुलेशन ने ऐतिहासिक बूटस्ट्रैप विश्लेषण से प्राप्त परिणामों की तुलना में काफी अधिक सुरक्षित निकासी दरें उत्पन्न कीं, जो स्वाभाविक रूप से वास्तविक रिटर्न की फैट-टेल्ड प्रकृति को संरक्षित करता है। अंतर परिणामों के बाएं टेल में सबसे स्पष्ट था, वह क्षेत्र जो सेवानिवृत्ति सुरक्षा के लिए सबसे महत्वपूर्ण है।
धारणा 3: स्थिर सहसंबंध
मानक मोंटे कार्लो सिमुलेशन परिसंपत्ति वर्गों के बीच संबंधों को मॉडल करने के लिए एक निश्चित सहसंबंध मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं। एक सामान्य धारणा स्टॉक-बॉन्ड सहसंबंध को -0.2 पर सेट कर सकती है, जो 2000-2020 की अवधि में देखे गए औसत संबंध को दर्शाती है। यह नकारात्मक सहसंबंध उस विविधीकरण लाभ की नींव है जो 60/40 पोर्टफोलियो को आकर्षक बनाता है।
लेकिन सहसंबंध स्थिर नहीं होते। वे व्यवस्था-निर्भर होते हैं और ठीक उस समय बढ़ने की प्रवृत्ति रखते हैं जब विविधीकरण की सबसे अधिक आवश्यकता होती है। 2008 के वित्तीय संकट, 2020 के COVID गिरावट और 2022 के मुद्रास्फीति आघात के दौरान, स्टॉक-बॉन्ड सहसंबंध नाटकीय रूप से बदले। 2022 में, ब्लूमबर्ग अमेरिकी समग्र बॉन्ड इंडेक्स 13% गिरा जबकि S&P 500 18% गिरा, एक साथ गिरावट जो एक स्थिर नकारात्मक सहसंबंध मॉडल में अत्यंत असंभव के रूप में वर्गीकृत होती।
| परिदृश्य | मानक MC (5वां प्रतिशतक) | व्यवस्था-सचेत MC (5वां प्रतिशतक) | अंतर |
|---|---|---|---|
| सामान्य बाजार | $820,000 | $790,000 | $30,000 |
| मध्यम तनाव | $540,000 | $410,000 | $130,000 |
| गंभीर संकट | $310,000 | $140,000 | $170,000 |
| स्टैगफ्लेशन | $280,000 | $95,000 | $185,000 |
Blanchett और Blanchett (2008) ने पाया कि गतिशील सहसंबंधों को सेवानिवृत्ति अनुमानों में शामिल करने से अनुमानित पोर्टफोलियो जीवित रहने की दर काफी कम हो जाती है, विशेष रूप से मध्यम से उच्च इक्विटी आवंटन वाले पोर्टफोलियो के लिए। प्रभाव बाएं टेल में सबसे बड़ा था, जहां संकट के दौरान सहसंबंध स्पाइक ने रिटर्न अनुक्रम जोखिम के साथ मिलकर मानक मॉडल की भविष्यवाणी से कहीं बदतर परिणाम उत्पन्न किए।
Hamilton (1989) ने व्यवस्था-स्विचिंग फ्रेमवर्क विकसित किया जो इन सहसंबंध गतिशीलता को मॉडल करने के लिए गणितीय आधार प्रदान करता है। सामान्य बाजारों और संकट अवधियों के लिए दो-व्यवस्था मॉडल इस आवश्यक विशेषता को पकड़ता है कि विविधीकरण ठीक उस समय खराब होता है जब इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।
धारणा 4: पृष्ठभूमि शोर के रूप में मुद्रास्फीति
अधिकांश सेवानिवृत्ति मोंटे कार्लो उपकरण मुद्रास्फीति को एक स्थिरांक (आमतौर पर 2-3%) या बाजार रिटर्न से असंबद्ध एक सरल यादृच्छिक चर के रूप में मानते हैं। यह सेवानिवृत्त लोगों के लिए सबसे खतरनाक मुद्रास्फीति परिदृश्य को अनदेखा करता है: निरंतर, बहु-वर्षीय मुद्रास्फीति जो एक साथ क्रय शक्ति को क्षरित करती है और वास्तविक परिसंपत्ति रिटर्न को दबाती है।
1970 का दशक सबसे स्पष्ट ऐतिहासिक उदाहरण प्रदान करता है। 1973 से 1982 तक, अमेरिकी CPI मुद्रास्फीति वार्षिक औसत 8.7% थी जबकि S&P 500 ने लगभग 6.7% का नाममात्र वार्षिक रिटर्न दिया, जिससे लगभग एक दशक तक नकारात्मक वास्तविक रिटर्न उत्पन्न हुआ। मुद्रास्फीति को 3% माध्य और 1.5% मानक विचलन के साथ स्वतंत्र शोर के रूप में मानने वाला मानक मोंटे कार्लो सिमुलेशन इस परिदृश्य को लगभग कभी उत्पन्न नहीं करता क्योंकि यह उच्च मुद्रास्फीति और खराब वास्तविक रिटर्न के बीच सहसंबंध को मॉडल करने में विफल रहता है।
सेवानिवृत्ति पोर्टफोलियो पर प्रभाव गंभीर है। 1973 में 4% मुद्रास्फीति-समायोजित दर पर निकासी शुरू करने वाले सेवानिवृत्त व्यक्ति ने मुद्रास्फीति समायोजन के कारण नाममात्र निकासी राशि में तीव्र वृद्धि देखी, जबकि उनके पोर्टफोलियो का वास्तविक मूल्य गिरता गया। यह संभव सबसे खराब संयोजन है: बढ़ती निकासी का गिरते पोर्टफोलियो मूल्यों से सामना होना।
धारणा 5: भविष्योन्मुखी अपेक्षित रिटर्न के रूप में ऐतिहासिक माध्य
अंतिम महत्वपूर्ण धारणा अपेक्षित रिटर्न इनपुट के रूप में ऐतिहासिक औसत रिटर्न का उपयोग करना है। अमेरिकी इक्विटी ने 1926 के बाद से लगभग 10% नाममात्र वार्षिक रिटर्न दिया है। कई मोंटे कार्लो उपकरण इस आंकड़े या इसके करीब किसी आंकड़े को भविष्योन्मुखी धारणा के रूप में उपयोग करते हैं।
यह प्रारंभिक मूल्यांकन और बाद के रिटर्न के बीच मजबूत अनुभवजन्य संबंध को अनदेखा करता है। जब शिलर CAPE अनुपात 30 से ऊपर होता है (जैसा कि 2020 के दशक के अधिकांश समय रहा है), बाद के 10-वर्षीय वास्तविक रिटर्न ऐतिहासिक रूप से औसतन 0-3% रहे हैं, जो 6-7% के दीर्घकालिक औसत से काफी कम है। जब मूल्यांकन ऊंचे होते हैं तब ऐतिहासिक औसत को भविष्योन्मुखी अनुमान के रूप में उपयोग करना व्यवस्थित रूप से अत्यधिक आशावादी मोंटे कार्लो परिणाम उत्पन्न करता है।
| विधि | 30-वर्षीय सिमुलेशन | मध्यिका अंतिम ($1M शुरुआत) | 5वां प्रतिशतक अंतिम | विफलता दर (4% WR) |
|---|---|---|---|---|
| मानक MC (ऐतिहासिक माध्य) | i.i.d. सामान्य | $2,840,000 | $380,000 | 11% |
| ब्लॉक बूटस्ट्रैप | स्व-सहसंबंध संरक्षित | $2,510,000 | $210,000 | 18% |
| व्यवस्था-स्विचिंग MC | Hamilton (1989) | $2,380,000 | $140,000 | 23% |
| फैट-टेल्ड + व्यवस्था MC | संयुक्त सुधार | $2,250,000 | $85,000 | 28% |
उपरोक्त तालिका $1 मिलियन 60/40 पोर्टफोलियो के लिए 30 वर्षों में 4% मुद्रास्फीति-समायोजित निकासी दर पर चार मोंटे कार्लो पद्धतियों की तुलना करती है। मानक दृष्टिकोण एक आरामदायक 11% विफलता दर दिखाता है। लेकिन जैसे-जैसे प्रत्येक यथार्थवादी विशेषता जोड़ी जाती है, विफलता दर लगातार बढ़ती है। फैट टेल, व्यवस्था-स्विचिंग सहसंबंध और स्व-सहसंबद्ध रिटर्न को शामिल करने वाला संयुक्त मॉडल 28% विफलता दर का अनुमान लगाता है, जो मानक परिणाम से दोगुने से अधिक है।
क्या टूटता है: मानक MC vs. वास्तविकता
इन धारणाओं का संचयी प्रभाव यह है कि मानक मोंटे कार्लो सिमुलेशन एक व्यवस्थित आशावाद पूर्वाग्रह उत्पन्न करते हैं। मानक सिमुलेशन का 5वां प्रतिशतक परिणाम, वह परिदृश्य जिसे सलाहकार यथार्थवादी सबसे खराब स्थिति के रूप में प्रस्तुत करते हैं, वास्तविक सबसे खराब ऐतिहासिक परिणामों से काफी बेहतर है।
2000 में $1 मिलियन 60/40 पोर्टफोलियो और 4% निकासी दर के साथ शुरू करने वाले एक सेवानिवृत्त व्यक्ति पर विचार करें। डॉट-कॉम गिरावट, 2008 का वित्तीय संकट, और 2022 का स्टॉक-बॉन्ड सहसंबंध विघटन ने एक ऐसा रिटर्न अनुक्रम दिया जिसे मानक मोंटे कार्लो मॉडल अपने 1ले प्रतिशतक से काफी नीचे रखते। इस सेवानिवृत्त व्यक्ति ने 22 वर्षों में तीन गंभीर गिरावटें अनुभव कीं, जिनमें से दो में स्टॉक और बॉन्ड की एक साथ गिरावट शामिल थी, एक ऐसा परिदृश्य जिसे स्थिर-सहसंबंध मॉडल अनिवार्य रूप से बाहर कर देते हैं।
यह केवल एक ऐतिहासिक जिज्ञासा नहीं है। इन परिणामों को उत्पन्न करने वाली संरचनात्मक स्थितियां, ऊंचे मूल्यांकन, बदलते मुद्रास्फीति व्यवस्थाएं, और विकसित होते स्टॉक-बॉन्ड सहसंबंध, विसंगतियां नहीं बल्कि वित्तीय बाजारों की विशेषताएं हैं।
सुधार: बेहतर मोंटे कार्लो विधियां
शोधकर्ताओं ने इन विफलताओं को संबोधित करने वाले कई सुधार विकसित किए हैं।
ब्लॉक बूटस्ट्रैप सिमुलेशन व्यक्तिगत वर्ष के रिटर्न को स्वतंत्र रूप से निकालने के बजाय ऐतिहासिक रिकॉर्ड से क्रमागत वर्षों के ब्लॉक (आमतौर पर 3-5 वर्ष) निकालता है। यह उस स्व-सहसंबंध संरचना, अस्थिरता क्लस्टरिंग और ब्लॉक-भीतर सहसंबंध गतिशीलता को संरक्षित करता है जिसे i.i.d. नमूनाकरण नष्ट कर देता है। Cogneau और Zakamouline (2013) ने प्रदर्शित किया कि ब्लॉक बूटस्ट्रैप विधियां मानक मोंटे कार्लो की तुलना में भौतिक रूप से भिन्न सेवानिवृत्ति परिणाम वितरण उत्पन्न करती हैं, व्यापक बाएं टेल और कम मध्यिका परिणामों के साथ।
व्यवस्था-स्विचिंग मोंटे कार्लो Hamilton (1989) द्वारा विकसित फ्रेमवर्क का उपयोग करता है, जो बाजारों को प्रत्येक व्यवस्था (विस्तार, मंदी, संकट) में भिन्न रिटर्न वितरण और सहसंबंध संरचनाओं के साथ विभिन्न व्यवस्थाओं के बीच बारी-बारी से बदलने के रूप में मॉडल करता है। यह इस आवश्यक विशेषता को पकड़ता है कि संकट केवल बड़े एकल-अवधि के झटके नहीं हैं बल्कि विशिष्ट सांख्यिकीय गुणों वाली निरंतर अवधियां हैं।
फैट-टेल्ड वितरण सामान्य वितरण को स्टूडेंट t-वितरण या स्थिर वितरण जैसे विकल्पों से प्रतिस्थापित करते हैं जो चरम घटनाओं को बेहतर ढंग से पकड़ते हैं। 4-6 स्वतंत्रता की डिग्री वाला स्टूडेंट t एक सामान्य व्यावहारिक विकल्प है जो विदेशी वितरण धारणाओं की आवश्यकता के बिना टेल संभावना को काफी बढ़ाता है।
परिदृश्य-आधारित तनाव परीक्षण विशिष्ट ऐतिहासिक या काल्पनिक तनाव परिदृश्यों को मोंटे कार्लो पथों पर आरोपित करता है। केवल यादृच्छिक नमूनों पर निर्भर रहने के बजाय, यह दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से 1970 के दशक के स्टैगफ्लेशन, जापान के खोए हुए दशकों, या एक साथ स्टॉक-बॉन्ड गिरावट जैसे परिदृश्यों को शामिल करता है। यह सुनिश्चित करता है कि ज्ञात विफलता मोड यादृच्छिक नमूनाकरण जो भी उत्पन्न करे, विश्लेषण में प्रतिनिधित्व करते हैं।
सेवानिवृत्ति योजना के लिए व्यावहारिक निहितार्थ
इन निष्कर्षों का व्यावहारिक परिणाम यह है कि मानक उपकरण से 85% की मोंटे कार्लो सफलता दर वास्तविक सेवानिवृत्ति सुरक्षा को संभवतः अधिक आंकती है। जब फैट टेल, सहसंबंध गतिशीलता और व्यवस्था प्रभावों को शामिल किया जाता है, तो 85% सफलता दर अधिक यथार्थवादी धारणाओं के तहत लगभग 70-75% के अनुरूप हो सकती है।
इसका अर्थ यह नहीं है कि मोंटे कार्लो सिमुलेशन को छोड़ दिया जाना चाहिए। इसका अर्थ है कि उपकरण को इसकी सीमाओं की जागरूकता के साथ, और आदर्श रूप से बेहतर पद्धतियों के पूरक के साथ उपयोग किया जाना चाहिए। एक सेवानिवृत्त व्यक्ति या सलाहकार जो अंतर्निहित धारणाओं को समझे बिना मानक मोंटे कार्लो परिणाम पर निर्भर करता है, एक ऐसे मॉडल के आधार पर निर्णय ले रहा है जो सबसे खराब परिणामों के जोखिम को व्यवस्थित रूप से कम बताता है।
सबसे मजबूत दृष्टिकोण कई विधियों को जोड़ता है: आधार रेखा के लिए मानक मोंटे कार्लो, स्व-सहसंबंध-सचेत अनुमानों के लिए ब्लॉक बूटस्ट्रैप, संकट गतिशीलता के लिए व्यवस्था-स्विचिंग विश्लेषण, और ज्ञात ऐतिहासिक विफलता मोड के लिए स्पष्ट परिदृश्य परीक्षण। जब ये विधियां समान निष्कर्ष पर अभिसरित होती हैं, तो अनुमान में विश्वास काफी बढ़ जाता है। जब वे भिन्न होती हैं, तो अधिक रूढ़िवादी अनुमान को योजना का मार्गदर्शन करना चाहिए।
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Written by Elena Vasquez · Reviewed by Sam
यह लेख उद्धृत प्राथमिक साहित्य पर आधारित है और सटीकता तथा उचित श्रेय के लिए हमारी संपादकीय टीम द्वारा समीक्षित है। संपादकीय नीति.
संदर्भ
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- Lo, A. W. (2002). The Statistics of Sharpe Ratios. Financial Analysts Journal, 58(4), 36-52. https://doi.org/10.2469/faj.v58.n4.2453
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