प्रमुख घटक विश्लेषण क्या है और वित्त में इसका उपयोग क्यों किया जाता है?

प्रमुख घटक विश्लेषण (PCA) एक सांख्यिकीय तकनीक है जो संपत्ति रिटर्न के सहप्रसरण मैट्रिक्स को आइगनवैल्यू और आइगनवेक्टर में विघटित करती है, सबसे अधिक विचरण को समझाने वाले असहसंबद्ध कारकों को निकालती है। वित्त में, इसका उपयोग आर्थिक धारणाएं लागू किए बिना रिटर्न के छिपे हुए चालकों की पहचान करने के लिए किया जाता है। यील्ड कर्व के लिए, PCA भिन्नता के 95% से अधिक को समझाने वाले तीन कारकों (स्तर, ढलान, वक्रता) को प्रकट करता है। इक्विटी के लिए, यह रिटर्न सहप्रसरण से प्रमुख शैली कारकों को निकालता है।

यील्ड कर्व गतिविधियों को समझाने के लिए कितने प्रमुख घटकों की आवश्यकता होती है?

Litterman और Scheinkman (1991) द्वारा प्रदर्शित, केवल तीन प्रमुख घटक यील्ड कर्व गतिविधियों के 95-98% को समझाते हैं। पहला घटक (स्तर) 83-90% समझाता है और सभी यील्ड में समानांतर बदलाव का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरा (ढलान) 6-10% समझाता है और कर्व के तीव्र या समतल होने को पकड़ता है। तीसरा (वक्रता) 1-3% समझाता है और बटरफ्लाई गतिविधियों का प्रतिनिधित्व करता है। यह उल्लेखनीय सरलता दर्शाती है कि दर्जनों विभिन्न परिपक्वता यील्ड का जटिल व्यवहार केवल तीन अंतर्निहित बलों द्वारा संचालित होता है।

Ledoit-Wolf संकोचन क्या है और यह पोर्टफोलियो अनुकूलन को कैसे सुधारता है?

Ledoit-Wolf संकोचन (2004) उस समस्या का समाधान करता है जब संपत्तियों की संख्या अवलोकनों की संख्या की तुलना में बड़ी होती है और नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स अत्यंत शोरयुक्त हो जाता है। यह विधि सूचना-समृद्ध लेकिन शोरयुक्त नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स को एक सरल, अधिक स्थिर संरचित लक्ष्य (जैसे स्थिर-सहसंबंध मैट्रिक्स) के साथ मिश्रित करती है। इष्टतम मिश्रण तीव्रता अपेक्षित नमूना-बाहर अनुमान त्रुटि को न्यूनतम करने के लिए विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित की जाती है। कच्चे नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स की तुलना में नमूना-बाहर पोर्टफोलियो विचरण 10-30% कम हो जाता है।

वित्त में प्रमुख घटक विश्लेषण: रिटर्न को क्या चलाता है?

मुख्य निष्कर्ष

स्क्रीन पर वित्तीय डेटा विश्लेषण

प्रमुख घटक विश्लेषण आर्थिक सिद्धांत को पूर्व-निवेश के रूप में आवश्यक किए बिना संपत्ति रिटर्न को चलाने वाले छिपे हुए कारकों को निकालता है। निश्चित आय में, Litterman और Scheinkman (1991) ने दिखाया कि केवल तीन प्रमुख घटक, जिन्हें स्तर, ढलान और वक्रता के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, यील्ड कर्व भिन्नता का लगभग 98% समझाते हैं। इक्विटी में, PCA रिटर्न सहप्रसरण में अंतर्निहित प्रमुख शैली कारकों को प्रकट करता है, और Ledoit और Wolf (2004) ने प्रदर्शित किया कि नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स को संरचित लक्ष्य की ओर संकोचित करने से नमूना-बाहर पोर्टफोलियो प्रदर्शन में नाटकीय सुधार होता है। PCA ब्लैक बॉक्स नहीं है; यह डेटा से पूछने का सबसे पारदर्शी तरीका है कि बाजारों को क्या चलाता है।

वित्त में आयाम की समस्या

वित्तीय बाजार हजारों सहसंबद्ध रिटर्न समय श्रृंखलाएं उत्पन्न करते हैं। 500 शेयरों को ट्रैक करने वाला पोर्टफोलियो प्रबंधक 500 व्यक्तिगत रिटर्न स्ट्रीम देखता है, लेकिन स्वतंत्र जोखिम स्रोतों की वास्तविक संख्या इससे बहुत कम है। इन 500 शेयरों की अधिकांश भिन्नता कुछ सामान्य कारकों द्वारा समझाई जा सकती है: समग्र बाजार, ब्याज दरें, सेक्टर रोटेशन, और कुछ शैली झुकाव।

चुनौती इन कारकों को पहचानना है बिना पूर्व धारणाएं लगाए कि वे क्या होने चाहिए। Fama-French जैसे पारंपरिक फैक्टर मॉडल आर्थिक परिकल्पनाओं (मूल्य, आकार, लाभप्रदता) से शुरू करते हैं और फिर परीक्षण करते हैं कि क्या वे रिटर्न समझाते हैं। PCA विपरीत दृष्टिकोण अपनाता है। यह रिटर्न के सहप्रसरण मैट्रिक्स से शुरू होता है और अधिकतम विचरण की दिशाओं को निकालता है, जिससे डेटा अपनी संरचना स्वयं प्रकट करता है।

यह भेद महत्वपूर्ण है। जब वास्तविक फैक्टर संरचना अज्ञात हो, या जब लक्ष्य पोर्टफोलियो अनुकूलन के लिए सहप्रसरण मैट्रिक्स से शोर हटाना हो, PCA सही शुरुआती बिंदु है।

PCA कैसे काम करता है: तंत्र

PCA संपत्ति रिटर्न के सहप्रसरण मैट्रिक्स को आइगनवैल्यू और आइगनवेक्टर में विघटित करता है। प्रत्येक आइगनवेक्टर एक पोर्टफोलियो (मूल संपत्तियों का रैखिक संयोजन) को परिभाषित करता है, और इसका संबंधित आइगनवैल्यू मापता है कि वह पोर्टफोलियो कितना रिटर्न विचरण समझाता है। आइगनवेक्टर लंबवत होते हैं, जिसका अर्थ है कि कारक निर्माण से असहसंबद्ध हैं।

प्रक्रिया सीधी है। T x N रिटर्न मैट्रिक्स (T समय अवधि, N संपत्तियां) दिया गया हो तो, N x N नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स की गणना करें। N आइगनवैल्यू-आइगनवेक्टर जोड़े प्राप्त करने के लिए आइगन विघटन करें। आइगनवैल्यू के अवरोही क्रम में क्रमबद्ध करें। पहला प्रमुख घटक (PC1) सबसे बड़े आइगनवैल्यू से संबद्ध आइगनवेक्टर है; यह एकल पोर्टफोलियो है जो सभी N संपत्तियों में सबसे अधिक विचरण पकड़ता है। PC2 PC1 के लंबवत शेष विचरण को सबसे अधिक पकड़ता है, और इसी प्रकार आगे।

कुल विचरण में k-वें प्रमुख घटक द्वारा समझाया गया अनुपात उसका आइगनवैल्यू सभी आइगनवैल्यू के योग से विभाजित होता है। व्यवहार में, कम संख्या में PC आमतौर पर अधिकांश भिन्नता समझाते हैं, और शेष घटक शोर होते हैं।

Litterman और Scheinkman (1991): यील्ड कर्व पर राज करने वाले तीन कारक

वित्त में PCA का ऐतिहासिक अनुप्रयोग Litterman and Scheinkman (1991) है। उन्होंने विभिन्न परिपक्वताओं पर अमेरिकी ट्रेजरी यील्ड में परिवर्तनों के सहप्रसरण मैट्रिक्स पर PCA लागू किया और पाया कि तीन कारक वस्तुतः सभी यील्ड कर्व गतिविधियों को समझाते हैं।

पहला प्रमुख घटक (PC1) सभी परिपक्वताओं पर लगभग समान भार वाला संयोजन है। जब यह कारक चलता है, तो सभी यील्ड एक साथ बढ़ते या गिरते हैं। इसे स्तर कारक के रूप में व्याख्यायित किया जाता है और यह नमूना अवधि के आधार पर कुल यील्ड कर्व भिन्नता का लगभग 83% से 90% समझाता है।

दूसरा प्रमुख घटक (PC2) छोटी परिपक्वताओं पर सकारात्मक और लंबी परिपक्वताओं पर नकारात्मक लोडिंग (या इसके विपरीत) रखता है। जब यह कारक चलता है, तो यील्ड कर्व तीव्र या सपाट होता है। यह ढलान कारक है और भिन्नता का लगभग 6% से 10% समझाता है।

तीसरा प्रमुख घटक (PC3) छोटी और लंबी परिपक्वताओं पर सकारात्मक लेकिन मध्यवर्ती परिपक्वताओं पर नकारात्मक लोडिंग रखता है, जो "तितली" आकार बनाता है। यह वक्रता कारक है और भिन्नता का लगभग 1% से 3% समझाता है।

एक साथ, ये तीन कारक सभी यील्ड कर्व गतिविधियों का 95% से 98% समझाते हैं, शेष घटकों में केवल अवशिष्ट शोर रहता है।

प्रमुख घटक	व्याख्या	समझाया विचरण (%)	आइगनवेक्टर लोडिंग पैटर्न
PC1	स्तर	83-90	सभी परिपक्वताओं पर एकसमान सकारात्मक
PC2	ढलान	6-10	छोटी अवधि सकारात्मक, लंबी नकारात्मक (या विपरीत)
PC3	वक्रता	1-3	छोटी + लंबी सकारात्मक, मध्यवर्ती नकारात्मक
PC4-PCN	शोर	2-5 (संयुक्त)	कोई स्थिर आर्थिक व्याख्या नहीं

इन तीन आइगनवेक्टर के लोडिंग पैटर्न दशकों तक और विश्व भर के सरकारी यील्ड कर्व में उल्लेखनीय रूप से स्थिर रहे हैं। Diebold and Li (2006) ने बाद में दिखाया कि ये तीन कारक यील्ड कर्व के Nelson-Siegel पैरामेट्रिक मॉडल से निकटता से मेल खाते हैं, जहां स्तर, ढलान और वक्रता को समय-परिवर्ती अव्यक्त कारकों के रूप में मॉडल किया जाता है।

आइगनवेक्टर लोडिंग: प्रत्येक कारक कैसा दिखता है

आइगनवेक्टर लोडिंग प्रकट करता है कि प्रत्येक परिपक्वता प्रत्येक प्रमुख घटक में कैसे योगदान करती है। नीचे दी गई तालिका अमेरिकी ट्रेजरी डेटा से प्रतिनिधि लोडिंग दिखाती है।

परिपक्वता	PC1 (स्तर)	PC2 (ढलान)	PC3 (वक्रता)
3-माह	0.25	0.58	0.55
1-वर्ष	0.30	0.42	0.10
2-वर्ष	0.34	0.28	-0.30
5-वर्ष	0.38	-0.05	-0.55
10-वर्ष	0.40	-0.33	-0.15
20-वर्ष	0.42	-0.42	0.20
30-वर्ष	0.43	-0.45	0.45

PC1 लोडिंग लगभग एकसमान हैं, जो स्तर की व्याख्या की पुष्टि करती हैं। PC2 लोडिंग छोटी परिपक्वताओं पर सकारात्मक से लंबी परिपक्वताओं पर नकारात्मक तक एकदिशीय रूप से घटती हैं, ढलान को पकड़ती हैं। PC3 लोडिंग छोरों पर सकारात्मक और बीच में नकारात्मक U-आकार बनाती हैं, वक्रता को पकड़ती हैं। ये पैटर्न मान्य नहीं किए गए; ये सीधे डेटा के आइगन विघटन से उभरते हैं।

इक्विटी में PCA: शैली कारकों का निष्कर्षण

इक्विटी बाजारों में, स्टॉक रिटर्न सहप्रसरण मैट्रिक्स पर PCA लागू करने से सह-गतिविधि के प्रमुख स्रोत प्रकट होते हैं। Connor and Korajczyk (1986) ने बड़े क्रॉस-सेक्शन में सांख्यिकीय फैक्टर मॉडल अनुमान लगाने के लिए स्पर्शोन्मुख प्रमुख घटक दृष्टिकोण पेश किया। उनकी विधि उस स्थिति को संभालती है जहां संपत्तियों की संख्या समय अवधियों की संख्या से अधिक होती है, N x N सहप्रसरण मैट्रिक्स के बजाय T x T क्रॉस-प्रोडक्ट मैट्रिक्स से कारक निकालकर।

इक्विटी रिटर्न में पहला प्रमुख घटक लगभग हमेशा बाजार कारक होता है; यह सभी शेयरों के एक साथ चलने की व्यापक प्रवृत्ति को पकड़ता है। बाद के घटक आमतौर पर मान्यता प्राप्त शैली कारकों के साथ संरेखित होते हैं: मूल्य बनाम विकास, आकार, गति और अस्थिरता।

Menchero (2011) ने प्रदर्शित किया कि PCA-व्युत्पन्न कारकों को वाणिज्यिक इक्विटी जोखिम मॉडल में आर्थिक रूप से व्याख्या योग्य जोखिम कारकों से कैसे मैप किया जा सकता है। मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि सांख्यिकीय PCA कारक और मूलभूत कारक मॉडल प्रतिस्पर्धी ढांचे नहीं हैं; वे पूरक हैं। PCA नाम दिए बिना जोखिम की प्रमुख दिशाओं की पहचान करता है; मूलभूत मॉडल आर्थिक लेबल प्रदान करते हैं और पोर्टफोलियो प्रबंधकों को विशिष्ट एक्सपोज़र पर दृष्टिकोण रखने की अनुमति देते हैं।

एक व्यापक इक्विटी यूनिवर्स का विशिष्ट PCA विघटन दिखाता है कि पहले 5 से 10 प्रमुख घटक कुल रिटर्न विचरण का 50% से 70% समझाते हैं, अकेले पहला घटक (बाजार) 25% से 40% समझाता है। यह यील्ड कर्व के मामले से स्पष्ट रूप से भिन्न है, जहां तीन कारक 95% से अधिक समझाते हैं। यह अंतर इक्विटी की अधिक समृद्ध, विषम फैक्टर संरचना को दर्शाता है।

संपत्ति वर्ग	50% विचरण के लिए PC	90% विचरण के लिए PC	PC1 अकेला (%)
अमेरिकी ट्रेजरी यील्ड	1	3	83-90
अमेरिकी लार्ज-कैप इक्विटी	1	50-80	25-40
वैश्विक सरकारी बांड	1-2	5-8	60-75
कमोडिटी	2-3	10-15	20-35

सहप्रसरण मैट्रिक्स शुद्धिकरण: Ledoit-Wolf संकोचन

जब संपत्तियों की संख्या समय अवधियों की संख्या के सापेक्ष बड़ी होती है तो नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स एक खराब अनुमानक होता है। 250 ट्रेडिंग दिनों में 500 शेयरों के अवलोकन के लिए, नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स केवल 125,000 डेटा बिंदुओं से 124,750 अद्वितीय प्रविष्टियों का अनुमान लगाता है। परिणामी मैट्रिक्स शोरयुक्त, अस्थिर होता है और अनुमान त्रुटि पर अति-अनुकूलित पोर्टफोलियो उत्पन्न करता है।

Ledoit and Wolf (2004) ने PCA चिंतन पर आधारित एक समाधान प्रस्तावित किया: नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स को संरचित लक्ष्य की ओर संकोचित करना। उनका दृष्टिकोण सूचना-समृद्ध लेकिन शोरयुक्त नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स को एक सरल, पक्षपाती लेकिन स्थिर लक्ष्य (जैसे एकल-कारक मॉडल सहप्रसरण मैट्रिक्स या स्थिर-सहसंबंध मैट्रिक्स) के साथ मिश्रित करता है। इष्टतम संकोचन तीव्रता अपेक्षित नमूना-बाहर हानि को न्यूनतम करने के लिए विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित की जाती है।

PCA से संबंध प्रत्यक्ष है। नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स की अस्थिरता उसके सबसे छोटे आइगनवैल्यू से आती है, जो अनुमान शोर द्वारा प्रभावित होते हैं। PCA-आधारित शुद्धिकरण में बड़े आइगनवैल्यू को संरक्षित करते हुए छोटे आइगनवैल्यू को काटना या संकोचित करना शामिल है। Ledoit-Wolf संकोचन एक भिन्न तंत्र के माध्यम से समान प्रभाव प्राप्त करता है: यह सभी आइगनवैल्यू को औसत की ओर खींचता है, शोरयुक्त छोटे को ऊपर और संभावित रूप से अतिकथित बड़े को नीचे संपीड़ित करता है।

नमूना-बाहर परीक्षणों में, कच्चे नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स के उपयोग की तुलना में Ledoit-Wolf संकोचन पोर्टफोलियो विचरण को 10% से 30% तक कम करता है। सुधार तब सबसे बड़ा होता है जब संपत्ति-से-समय अवधि अनुपात अधिक होता है (जब "आयाम का अभिशाप" सबसे गंभीर होता है)।

यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत: संकेत और शोर को अलग करना

Marcenko and Pastur (1967) ने PCA में वास्तविक कारकों को शोर से अलग करने के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान किया। यदि संपत्ति रिटर्न वास्तव में बिना किसी सामान्य कारक के शुद्ध शोर द्वारा संचालित होते, तो नमूना सहप्रसरण मैट्रिक्स के आइगनवैल्यू ज्ञात सीमाओं वाले एक विशिष्ट वितरण का पालन करते। इस वितरण की ऊपरी सीमा से अधिक कोई भी आइगनवैल्यू अनुमान शोर के बजाय वास्तविक कारक को दर्शाने की संभावना रखता है।

Marcenko-Pastur वितरण दो मापदंडों पर निर्भर करता है: संपत्ति-से-समय अवधि अनुपात (q = N/T) और शोर का विचरण। 500 शेयरों और 1,000 दैनिक अवलोकनों वाले विशिष्ट इक्विटी डेटासेट के लिए, q = 0.5, और शोर आइगनवैल्यू वितरण की ऊपरी सीमा शोर विचरण का लगभग 2.9 गुना होती है। इस सीमा से ऊपर के आइगनवैल्यू संकेत के रूप में बनाए रखे जाते हैं; नीचे के या तो काट दिए जाते हैं या उनके औसत से प्रतिस्थापित किए जाते हैं।

सहप्रसरण शुद्धिकरण का यह दृष्टिकोण मात्रात्मक संपत्ति प्रबंधन में मानक बन गया है। यह कितने प्रमुख घटकों को बनाए रखना है, इसके लिए एक सिद्धांतबद्ध, गैर-मनमाना तरीका प्रदान करता है।

व्यावहारिक कार्यान्वयन संबंधी विचार

PCA को कई कार्यान्वयन विकल्पों की आवश्यकता होती है जो परिणामों को प्रभावित करते हैं।

सबसे पहले, इनपुट डेटा को मानकीकृत किया जाना चाहिए। यदि रिटर्न से औसत नहीं हटाया गया और स्केल नहीं किया गया, तो PCA सबसे व्यवस्थित सह-गतिविधि के बजाय उच्चतम विचरण वाली संपत्तियों द्वारा प्रभावित होता है। इक्विटी अनुप्रयोगों में, कच्चे सहप्रसरण मैट्रिक्स के बजाय सहसंबंध मैट्रिक्स (मानकीकृत सहप्रसरण) का उपयोग मानक प्रथा है।

दूसरा, अनुमान विंडो महत्वपूर्ण है। लंबी विंडो अधिक स्थिर अनुमान प्रदान करती हैं लेकिन शासन परिवर्तनों को चूक सकती हैं। छोटी विंडो विकसित हो रही फैक्टर संरचनाओं को पकड़ती हैं लेकिन अधिक शोर पेश करती हैं। 60 से 252 ट्रेडिंग दिनों की रोलिंग PCA एक सामान्य समझौता है।

तीसरा, आइगनवेक्टर चिह्न मनमाने होते हैं। PCA दिशाएं परिभाषित करता है, चिह्न नहीं; PC1 सभी संपत्तियों पर सकारात्मक या नकारात्मक लोडिंग रख सकता है। व्यवसायी आमतौर पर परंपरा द्वारा चिह्न निश्चित करते हैं (उदाहरण के लिए, PC1 को समग्र बाजार पर सकारात्मक लोडिंग रखने की आवश्यकता)।

चौथा, PCA कारक सीधे व्यापार योग्य नहीं होते। PCA आइगनवेक्टर को व्यापार योग्य पोर्टफोलियो में बदलने के लिए इसे वास्तविक प्रतिभूतियों पर प्रक्षेपित करना और शॉर्ट-सेलिंग, लेनदेन लागत और पुनर्संतुलन की व्यावहारिक बाधाओं को प्रबंधित करना आवश्यक है।

सीमाएं

PCA एक रैखिक विधि है। यह संपत्तियों के बीच गैर-रैखिक निर्भरताओं को पकड़ नहीं सकता। उन बाजारों में जहां शासन परिवर्तन, अस्थिरता गुच्छन, या विषम पूंछ निर्भरता महत्वपूर्ण हैं, PCA रिटर्न उत्पन्न करने की प्रक्रिया की महत्वपूर्ण विशेषताओं को चूक सकता है।

PCA कारकों में अंतर्निहित आर्थिक व्याख्या का अभाव होता है। आइगनवेक्टर सांख्यिकीय उत्पाद हैं; PC1 को "बाजार" या PC2 को "मूल्य" का लेबल देना एक पश्च-हॉक व्याख्या है जो विभिन्न समय अवधियों या बाजार शासनों में मान्य नहीं हो सकती।

PCA बाह्य मानों के प्रति संवेदनशील है। एक दिन का चरम रिटर्न सहप्रसरण मैट्रिक्स को विकृत कर सकता है और प्रमुख घटकों को स्थानांतरित कर सकता है। मजबूत PCA विधियां मौजूद हैं लेकिन जटिलता बढ़ाती हैं।

अंत में, PCA स्थिरता मानता है। फैक्टर संरचना और फैक्टर लोडिंग को अनुमान विंडो में स्थिर माना जाता है। व्यवहार में, फैक्टर संरचनाएं विकसित होती हैं, और पिछले वर्ष के रिटर्न को समझाने वाली लोडिंग अगले वर्ष के रिटर्न को समझाने में विफल हो सकती हैं।

संदर्भ

Litterman, R., & Scheinkman, J. (1991). "Common Factors Affecting Bond Returns." Journal of Fixed Income, 1(1), 54-61. https://doi.org/10.3905/jpm.1991.409331
Connor, G., & Korajczyk, R. A. (1986). "Performance Measurement with the Arbitrage Pricing Theory: A New Framework for Analysis." Journal of Financial Economics, 15(3), 373-394. https://doi.org/10.1016/0304-405X(86)90011-4
Ledoit, O., & Wolf, M. (2004). "A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices." Journal of Multivariate Analysis, 88(2), 365-411. https://doi.org/10.1016/j.jempfin.2003.10.003
Menchero, J. (2011). "Characteristics of Factor Portfolios." Journal of Portfolio Management, 37(4), 125-132. https://doi.org/10.3905/jpm.2011.37.4.125
Marcenko, V. A., & Pastur, L. A. (1967). "Distribution of Eigenvalues for Some Sets of Random Matrices." Mathematics of the USSR-Sbornik, 1(4), 457-483. https://doi.org/10.1070/SM1967v001n04ABEH001994
Diebold, F. X., & Li, C. (2006). "Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields." Journal of Econometrics, 130(2), 337-364. https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2005.03.005